enad S. Milinković, University of Kragujevac, Faculty of Education in Užice, email: milinkovic.nenad84@gmail.com
Sanja M. Maričić, University of Kragujevac, Faculty of Education in Užice
Olivera J. Đokić, University of Belgrade, Teacher Education Faculty
Иновације у настави, XXXV, 2022/3, стр. 26–43

| PDF | | Extended summary PDF |
DOI: 10.5937/inovacije2203026M

Summary: The equals sign is one of the most important concepts and symbols in mathematics, the understanding of which is crucial for learning and understanding all mathematical content, especially algebra. The paper will draw attention to the problems related to the formation and understanding of this concept, and present a methodological approach to learning based on the context modeling of real-life situations (modeling length, balance, etc.), with the aim of overcoming this misconception. In the empirical section of the paper, we examined the effects of the methodological framework of learning algebra on the understanding of the equals sign through an experiment with parallel groups, and on a sample of the fourth-grade students of primary school (N = 257). The obtained results show that the methodological approach based on the context modeling of real-life situations improves student understanding of the equals sign, as a symbol of mathematical equivalence and their ability to solve problems containing this sign.

Keywords: contextual approach, equals sign, early algebra, Realistic Mathematics Education, student achievement

ЗНАК ЈЕДНАКОСТИ – ПРОБЛЕМ УЧЕЊА РАНЕ АЛГЕБРЕ И КАКО ГА РЕШИТИ

Један од најзначајнијих појмова и симбола у математици јесте знак једнакости. Правилно разумевање овог знака је један од најзначајнијих предуслова за разумевање и учење других математичких и алгебарских појмова. У раду се посебно истичу потешкоће које прате неправилно разумевање знака једнакости, чија се основа проналази у неправилном формирању овог појма у настави аритметике, где се ученици навикавају на знак једнакости као знак који означава „израчунај” или „одреди”. Најзначајније за разумевање знака једнакости јесте управо то да се овај појам не схвата само операционо, већ да се развије релационо значење овог симбола. Разумевање знака „=” само операционо доводи до тога да ученици имају потешкоће са разумевањем његовог релационог значења. Имајући то у виду, аутори у раду истичу и развијају идеју да на млађем школском узрасту учење и формирање знака једнакости треба да буде засновано на ситуацијама учења у којима ученик моделује реалне ситуације и решава проблеме реалног контекста. На овај начин проблеми реалног контекста одражавају реалне ситуације из свакодневног живота које упућују на суштину појма знака једнакости ‒ као знака који изражава еквивалентност. У складу са тим у раду је представљен методички приступ учења заснован на моделовању ситуација реалног контекста како би се проблем неразумевања појма знака једнакости превазишао. У моделовању ситуација реалног контекста посебно је издвојено моделовање дужина и равнотеже, јер се на овим моделима најлакше уочава и схвата еквивалентност као основа за изградњу појма знака једнакости у математици. Приказани методички приступ експериментално је тестиран у оквиру истраживања које је имало за циљ да испита да ли овакав методички приступ доприноси бољем разумевању знака једнакости. Кроз експеримент са паралелним групама на узорку ученика четвртог разреда (N=257) реализовано је истраживање, у оквиру кога су испитивани ефекти методичког приступа. Програм по коме је радила експериментална група чинили су посебно припремљени часови (25), у којима се користило моделовање ситуација у реалном контексту, док су ученици који су чинили контролну групу радили на уобичајени традиционални начин, користећи одобрени уџбеник из математике за четврти разред основне школе. Добијени резултати показали су да се релационо значење знака једнакости може развијати употребом проблема који изражавају ситуације реалис тичног контекста. Резултати добијени у овом истраживању показали су да се пажљиво обликованим садржајима математике, тако да они буду засновани и моделовани на реалним ситуацијама које су блиске ученику и засноване на његовом искуству, може позитивно утицати на способност за правилно разумевање знака једнакости. Ово истраживање је показало да се употребом реалног контекста процес учења садржаја аритметике и алгебре може унапредити и тако створити снажна основа за правилну изградњу не само појма знака једнакости већ и многих других математичких појмова. Осим тога, моделовање реалних ситуација омогућава ученицима да постепено развијају своја математичка знања, при чему се постепено прелази на формалну математичку симболику и избегавају потенцијални проблеми или неразумевања у садржајима алгебре.

Кључне речи: моделовање реалних ситуација, знак једнакости, рана алгебра, реалистично математичко образовање, ученичка постигнућа

References

• Alexandrou-Leonidou, V. & Philippou, G. N. (2011). Can they ’see’ the equality? In: Pytlak, M., Rowland, T.
  & Swoboda, E. (Eds.). Proceedings of the Seventh Congress of the European Society for Research in Mathematics
  Education (CERME 7) (410–419). Poland: University of Rzeszów.
• Alibali, M. W., Knuth, E. J., Hattikudur, S., McNeil, N. M. & Stephens, A. C. (2007). A longitudinal examination of middle school students’ understanding of the equal sign and equivalent equations. Mathematical Thinking
  and learning, 9 (3), 221–247. http://www.doi.org/10.1080/10986060701360902
• Baroody, A. J. & Ginsburg, H. P. (1983). The effects of instruction on children’s understanding of the „equals” sign. The Elementary School Journal, 84 (2), 199–212. http://www.doi.org/10.1086/461356
• Booth, L. R. (1988). Children’s difficulties in beginning algebra. The ideas of algebra, K-12, 19, 20–32.
• Carpenter, T. P. & Levi, L. (2000). Developing conceptions of algebraic reasoning in the primary grades. Madison, WI: National Center for Improving Student Learning and Achievement in Mathematics and Science.
• Cohen, J. (Eds.) (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
• Dabić Boričić, M., Zeljić, M. (2021). Modelovanje ekvivalencije matematičkih izraza u početnoj nastavi. Inovacije u nastavi, 34 (1), 30–43. http://www.doi.org/10.5937/inovacije2101030D
• DeCaro, M. S. & Rittle-Johnson, B. (2012). Exploring mathematics problems prepares children to learn from instruction. Journal of Experimental Child Psychology, 113 (4), 552–568. http://www.doi.org/10.1016/j.
  jecp.2012.06.009
• Đokić, O. (2017). Realno okruženje u početnoj nastavi geometrije. Beograd: Učiteljski fakultet.
• Filloy, E. & Rojano, T. (1989). Solving equations: The transition from arithmetic to algebra. For the learning of mathematics, 9 (2), 19–25.
• Freiman, V. & Lee, L. (2004). Tracking primary students’ understanding of the equality sign. In: Hoines, M. J. & Fuglestad, A. B. (Eds.). Proceedings of the 28th conference of the International Group for the Psychology of
  Mathematics Education (415–422). Bergen, Norway: Bergen University College.
• Freudenthal, H. (1962). Logical Analysis and Critical Study. In: Freudenthal, H. (Ed.). Report on the Relations between Arithmetic and Algebra (20–41). Groningen: Wolters.
• Freudenthal, H. (1991). Revisiting mathematics education. Dordrecht: Kluwer Academic.
• George, D. & Mallery, P. (2010). SPSS for Windows step by step. A simple study guide and reference (10. Baskı). GEN, Boston, MA: Pearson Education, Inc.
• Ilić, S., Zeljić, M. (2017). Pravila stalnosti zbira i razlike kao osnova strategija računanja. Inovacije u nastavi, 30 (1), 55–66. http://www.doi.org/10.5937/inovacije1701055I
• Jones, I. (2006). The equals sign and me. Mathematics Teaching, 194, 6–8.
• Kieran, C. (1981). Concepts associated with the equality symbol. Educational studies in Mathematics, 12 (3), 317–326. http://www.doi.org/10.1007/BF00311062
• Kieran, C. (1992). The learning and teaching of school algebra. In: Grouws, D. A. (Ed.). Handbook of research on mathematics teaching and learning: A project of the National Council of Teachers of Mathematics (390–419). Macmillan Publishing Co, Inc.
• Kieran, C. (2006). Research on the learning and teaching of algebra. In: Gutiérrez, A. & Boero, P. (Eds.). Handbook of research on psychology of mathematics education: Past, present and future (11–49). Rotterdam/ Taipei: Sense.
• Knuth, E. J., Stephens, A. C., McNeil, N. M. & Alibali, M. W. (2006). Does understanding the equal sign matter? Evidence from solving equations. Journal for research in Mathematics Education, 37 (4), 297–312. http://www.doi.org/10.2307/30034852
• Marjanović, M., Kalajdžić, G. (1992). O relaciji ekvivalencije. Nastava matematike, 38 (1), 1‒7.
• Marjanović, M. M. (2002). A Broader way Through Themas of Elementary School Mathematics, IV. The Teaching of Mathematics, 5 (1), 47‒55.
•  Mason, J. (1996). Expressingenerality and roots of algebra. In: Bednarz, N., Kieran, C. & Lee, L. (Eds.). Approaches to algebra (65–86). Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
•  McNeil, N. M. & Alibali, M. W. (2005). Knowledge change as a function of mathematics experience: All contexts are not created equal. Journal of Cognition and Development, 6 (2), 285–306.
• McNeil, N. M., Fyfe, E. R. & Dunwiddie, A. E. (2015). Arithmetic practice can be modified to promote understanding of mathematical equivalence. Journal of Educational Psychology, 107 (2), 423–436. http:// www.doi.org/10.1037/a0037687
• McNeil, N. M., Weinberg, A., Hattikudur, S., Stephens, A. C., Asquith, P., Knuth, E. J. & Alibali, M. W. (2010). A is for apple: Mnemonic symbols hinder the interpretation of algebraic expressions. Journal of Educational
  Psychology, 102 (3), 625–634. DOI:10.1037/a0019105
• Milinković, N. (2021). Kontekstualni pristup nastavi algebre u mlađim razredima osnovne škole (doktorska disertacija). Užice: Pedagoški fakultet.
• NCTM [National Council of Teachers of Mathematics] (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston, Virginia.
• Obradović, D., Zeljić, M. (2015). Metode i strategije rešavanja tekstualnih zadataka u početnoj nastavi matematike. Inovacije u nastavi, 28 (1), 69–81. http://www.doi.org/10.5937/inovacije1501069O
• Otten, M., Van den Heuvel-Panhuizen, M., Veldhuis, M., Boom, J. & Heinze, A. (2020). Are physical experiences with the balance model beneficial for students’ algebraic reasoning? An evaluation of two learning environments for linear equations. Education Sciences, 10 (6), 163–188. http://www.doi.org/10.3390/educsci10060163
• Parslow-Williams, P. & Cockburn, A. D. (2008). Equality: getting the right balance. In: Cockburn, A. D. & Littler, G. (Eds.). Mathematical Misconceptions (23‒38). SAGE. http://www.doi.org/10.4135/9781446269121
• Rittle-Johnson, B., Matthews, P. G., Taylor, R. S. & McEldoon, K. L. (2011). Assessing knowledge of mathematical equivalence: A construct-modeling approach. Journal of Educational Psychology, 103 (1),
  85‒104. http://www.doi.org/10.1037/a0021334
• Ryan, J. & Williams, Ј. (2007). Children’s mathematics 4–15. Learning from errors and misconceptions. Open University Press.
• Sarama, J. & Clements, D. H. (2009). Building blocks and cognitive building blocks: Playing to know the world mathematically. American Journal of Play, 1 (3), 313–337.
• Sfard, A. & Linchevski, L. (1994). Between arithmetic and algebra: In the search of a missing link, the case of equations and inequalities. Rendiconti Del Seminario Matematico, 52 (3), 279–307.
• Tabachnik, B. G. & Fidell, L. S. (2013). Using multivariate statistics (6th ed.). Boston, MA: Pearson Education.
• Van Reeuwijk, M. (2001). From informal to formal, progressive formalization: An example on „solving systems of equations”. In: Chick, H., Stacey, K., Vincent, J. & Vincent, J. (Eds.). The future of the teaching and learning of algebra: The 12th ICMI study conference (613–620). Melbourne, Australia. Retrieved October 15, 2021. http://repository.unimelb.edu.au/10187/2812.
• Van Stiphout, I., Drijvers, P. H. M. & Gravemeijer, K. P. E. (2013). The development of students’ algebraic proficiency. Mathematics Education, 8 (2–3), 62–80.
• Vlassis, J. (2002). The balance model: Hindrance or support for the solving of linear equations with one unknown. Educational Studies in Mathematics, 49 (3), 341–359. http://www.doi.org/10.1023/A:1020229023965
• Zeljić, M. (2014). Metodički aspekti rane algebre. Beograd: Učiteljski fakultet.

Copyright © 2022 by the authors, licensee Teacher Education Faculty University of Belgrade, SERBIA. This is an open access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License (CC BY 4.0) (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original paper is accurately cited