Charalampos E. Lemonidis, University of Western Macedonia, School of Social Sciences and Humanities, Department of Educational Elementary Studies, Florina, Greece, e-mail: xlemon@uowm.gr
Anastasios C. Gkolfos, 4th High School of Evosmos, Thessaloniki, Greece
Иновације у настави, XXXIII, 2020/1, стр. 36–56

| PDF | | Extended summary PDF |
doi: 10.5937/inovacije2001036L

Summary: In modern mathematics curricula in primary and secondary education, number line is an important supervisory tool for understanding many concepts, such as different types of numbers, equations, and more. The use of the number line is supported by a large number of researchers, but there are also studies showing that students find it difficult to use.
Although the concept of number line is important for teaching and there is a great deal of debate about its use, as far as we know, there are very few systematic studies that examine the epistemological development of some components regarding the concept of number line throughout history and correlate this development by learning this concept from the students. However, there are no studies that examine the concept of historical development of the number line as a whole or relate it to student behavior.
In this paper, therefore, the first attempt has been made to examine the overall development of the concept of number line in the history of mathematics. We have therefore studied the historical evolution of the concept of number line and divided it into periods, according to the characteristics of this evolution. It seems that based on the slow mathematical integration of the concept of number line at the end of the 19th century, but also on some other critical points in the four historical periods that we have analyzed, some of the difficulties that students encounter when using it are likely to be epistemological obstacles.

Keywords: number line, historical evolution, epistemological obstacle, concept representation.

Харалампос Е. Лемонидис, Универзитет Западне Македоније, Факултет друштвено-хуманистичких наука, Одсек за основно образовање, Флорина, Грчка
Анастасиос Ц. Голфос, Четвртa гимназијa Евозмос, Солун, Грчка

БРОЈЕВНА ПРАВА У ИСТОРИЈИ МАТЕМАТИКЕ И МАТЕМАТИЧКОМ ОБРАЗОВАЊУ

У овом раду прво представљамо истраживања везана за тему рада и анализирамо врсте бројевних правих, а потом представљамо два истраживања у којима су из угла историјског развоја испитивани елементи бројевне праве, правац простирања и негативни бројеви. У раду затим вршимо историјску анализу еволуције појма бројевне праве и представљамо тешкоће са којима се ученици суочавају приликом њенњ употребе, док кроз приказ историјског развоја бројевне праве покушавамо да сагледамо ове тешкоће у односу на четири критичне тачке у том развоју.

1. период. Развој математике до Еуклида: Раздвајање бројева од праве
У античкој Грчкој је у математици постојала јасна разлика између броја и величине. Бројеви (природни бројеви) били су једноставне колекције дискретних јединица које су мериле мноштво. С друге стране, величина је обично описивана као непрекидни квантитет подељен на делове који се бесконачно може делити. Ова разлика између броја и величине довела је до прављења разлике између аритметике и геометрије. Аритметика се бавила дискретним или ограниченим квантитетом, а геометрија континуираним или проширеним квантитетом. Услед ове разлике многи математички проблеми решавани су на различите начине.

2. период. До 16. века: Основе целих бројева – Рационални бројеви – Емпиријска геометрија
У периоду од 12. до 16. века уочава се оријентација ка емпиријској геометрији, као и њен однос према методама рачунања и употреби алата за мерење. Михаил Штифел (1487-1567) је први математичар који је негативне бројеве дефинисао као бројеве мање од нуле, а позитивне бројеве као бројеве веће од нуле. Први је и описао нулу, као и рационалне и ирационалне бројеве. У току 16. века дошло је до промене класичног схватања појма броја и величине. Франсоа Вијет (1540-1603) је увео нове симболе за означавање непознатих величина и бројева, тврдећи да су бројеви и величине међусобно заменљиви. Из овако схваћеног односа између бројева и величина развила се идеја да се бројеви такође могу сматрати континуираним, у духу Аристотеловог поимања непрекидности. Међутим, чак и током целог овог периода није уведен појам бројевне праве нити је дошло до повезивања сваке тачке са одређеним бројем. Упркос томе, неки математичари су почели да уочавају елементе који тако нешто омогућавају.

3. период. Од 17. до почетка 19. века: Прво повезивање бројева и геометријских дужи – алгебаризација геометрије
Идеја о бројевној правој није заживела међу математичарима све до краја 16. века. Међутим, појам бројевне праве почиње да се појављује у радовима неких од пионира математике у 17. веку. Џон Вaлис (1685) је први употребио бројевну праву у свом делу Трактат о алгебри (Treatise of Algebra), како би протумачио сабирање и одузимање негативних бројева. Развој алгебарских симбола и повезивање криве са њој одговарајућим једначинама довело је Декарта до алгебаризације геометрије уз помоћ координатног система. Декарт у свом раду не користи термине као што су апсциса, ордината и оса. Декарт није увео појам бројевне праве кроз откриће координатног система у свом раду Геометрија (La Géométrie) из 1637. године, с обзиром на чињеницу да он никада не спомиње појам осе, нити су осе или систем координата приказани на његовим илустрацијама, чак ни онда када јасно одређује вредности појединих величина. Бројевна права се први пут спомиње у првој половини 19. века у делу Ернеста Готфрида Фишера (1754-1831). Фишер се бавио неограниченим негативним и позитивним квантитетима. Он експлицитно повезује сваку тачку на оси апсцисе са вредностима x и одговарајућу тачку на оси ординате.

4. период. Од почетка 19. века до данас: Формулисање појма бројевне праве
Први покушај да се развије теорија реалних бројева је направљена раних тридесетих година 19. века од стране Болцана, који је реалне бројеве видео као граничне вредности низова рационалних бројева. Отприлике у исто време, Роуан Хамилтон (1805-1865) покушава да дефинише реалне бројеве, али није успео да превазиђе логику коју су наметала устаљена схватања у геометрији. У свом настојању да заснује гранични рачун искључиво на појму броја, Карл Вајерштрас (1855-1897) сматра да треба да дефинише ирационалне бројеве независно од појма граничне вредности. Стога је сам конвергентни низ сматрао бројем или граничном вредношћу и дефинисао је ирационалне бројеве као скупове рационалних бројева, пре него уређене низове рационалних бројева. Георг Кантор (1845-1918) је 1871. године створио нову концепцију броја, сличну са концепцијом Мeрea и Вajeрштраса. У исто време, Хајне (1821-1881) је предложио одређена поједностављења која су довела до такозваног Кантор-Хајнеовог развоја, који подсећа на Мереов у коме конвергентни низови који не конвергирају ка рационалним бројевима се узимају као дефиниција ирационалних бројева. Дедекинд је покушао да да јасну дефиницију непрекидности, прво за тачке на правој линији, а затим и за скуп бројева полазећи од скупа рационалних бројева, а након што је приметио да својства поретка рационалних бројева одговарају релацијама између тачака на правој линији. Дедекинд је сматрао да се скуп рационалних бројева може проширити до непрекидног скупа реалних бројева ако се прихвати Кантор-Дедекиндов принцип према коме се тачке на правој линији могу један-један пресликавањем повезати са реалним бројевима. Из овога проистиче заснивање бројевне праве у данашњој форми.

Пре свега, приметимо да математичка интеграција и заснивање појма бројевне праве у данашњем смислу се у историји математике одигравала веома споро. Као што смо могли да видимо, захваљујући поставкама Дедекинда и Кантора крајем 19. и почетком 20. века, ми сада сматрамо да постоји један-један повезивање између тачака на правој и бројева у скупу реалних бројева. То само по себи указује да је, иако појам бројевне праве изгледа једноставан за разумевање, за формулисање њеног данашњег облика требало много времена. Критичним тачкама у уобличавању појма бројевне праве током историје математике можемо сматрати раздвајање броја од величине или раздвајање бројева од праве. Овакво претходно описано раздвајање се може приметити у грешкама које праве ученици који често сагледавају бројеве одвојено од мера на бројевној правој. Другу критичну тачку у историјској еволуцији, која такође представља и тешкоћу за ученике, чине негативни бројеви и оријентисаност на бројевној правој у позитивном или негативном смеру. Трећа критична тачка је густина рационалних бројева и додатни јединични интервали потребни да би се они приказали на бројевној правој. Ово се појавило као проблем за ученике када су требали да сместе разломке на бројевној правој, и рационалне бројеве уопште, где је неопходно одредити додатне јединичне интервале као нпр. за интервал ¼ чиме би се одредио разломак ¾ на бројевној правој. Четврта критична тачка се фокусира на густину ирационалних бројева, раздвојеност рационалних од ирационалних бројева, и представљање ирационалних бројева на бројевној правој. У овом раду анализирали смо тешкоће које ученици и наставници математике имају бавећи се густином и раздвојеношћу рационалних од ирационалних бројева, као и представљањем ирационалних бројева на бројевној правој. Као што смо раније истакли, и позивајући се на историјске изворе, до идентификовања реалних бројева и њиховог придруживања са тачкама на бројевној правој дошло је врло касно, тек крајем 19. и почетком 20.века.

Kључне речи: бројевна права, историјска еволуција, епистемолошка препрека, предтстављање појмова.

References

• Amadeo, M. (2018). Textbooks revealing the development of a concept ‒ the case of the number line in the analytic geometry (1708‒1829). ZDM, 50 (5), 907‒920. DOI: 10.1007/s11858-018-0968-7
• Bachelard, G. (1938). La formation de l’esprit scientifique. Paris: J Vrin.
• Beishuizen, M. (1999). The empty number line as a new model. In: Thompson, I. (ed.) Issues in teaching numeracy in primary schools (157‒168). Buckingham: Open University Press.
• Boyer, C. B. & Merzbach, U. C. (1997). Η ιστορία των μαθηματικών. Αθήνα: Πνευματικός. DOI: 10.2307/2532593 [The history of mathematics] [in Greek].
• Bright, G. W., Behr, M. J., Post, T. R. & Wachsmuth, I. (1988). Identifying fractions on number lines. Journal for Research in Mathematics Education, 215‒232. DOI: 10.2307/749066
• Brousseau, G. (1976). Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. In: Comptes-rendus de la XXVIIIème rencontre organisée par la Commission Internationale pour l’Etude et l’Amélioration de l’Enseignement des Mathématiques (101‒117). Louvain-la-Neuve.
• Brousseau, G. (1983). Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. Rech Didact Math, 4(2), 165‒198.
• Bunt, L. N. H., Jones, P. S. & Bedient, J. D. (1981). Οι ιστορικές ρίζες των στοιχειωδών μαθηματικών. Αθήνα: Πνευματικός. [The historical roots of elementary mathematics] [in Greek]
• Chambers, E. (1728). Cyclopaedia; or An universal dictionary of arts and sciences (Vol. 1‒2). London: Printed for James and John Knapton.
• Clarke, D. M., Roche, A. & Mitchell, A. (2007). Year six fraction understanding: A part of the whole story. In: Watson, J. & Beswick, K. (Eds.). Proceedings of the 30th annual conference of the Mathematics EducationResearch Group of Australasia (MERGA): Mathematics: Essential research, essential practice Vol. 1 (207‒216). Sydney: MERGA.
• Crossley, J. N. (1987). The Emergence of Number. World Scientific Publishing Co Pte Ltd. DOI: 10.1142/0462
• Dickinson, P. & Eade. F. (2004). Using the number line to investigate the solving of linear equations. For the Learning of Mathematics, 24 (2), 41‒47.
• Diezmann, C. M., Lowrie, T., & Sugars, L. (2010). Primary students’ success on the structured number line. Australian Primary Mathematics Classroom, 15 (4), 24‒28.
• Diezmann, C. M. & Lowrie, T. (2006). Primary students’ knowledge of and errors on number lines. In: Grootenboer, P., Zevenbergen, R. & Chinnappan, M. (Eds.). Proceedings of the 29th annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia: Identities, cultures, and learning spaces (171‒178). Sydney: MERGA.
• Duroux, A. (1983). La valeur absolue: difficultés majeures pour une notion mineure. Petit x, 3.
• Duval, R. (1999). Representation, vision and visualization: Cognitive functions in mathematical thinking. Basic issues for learning. In: Hitt, F. & Santos, M. (Eds.). Proceedings of the Twenty First Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (3‒26). Columbus, OH: Clearinghouse for Science, Mathematics, and Environmental Education.
• Duval, R. (1988). Graphiques et equations: l’articulation de deux registres. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 1, 235‒255.
• Eves, H. W. (1997). Foundations and fundamental concepts of mathematics. Mineola, New York: Dover Publications, Inc.
• Fischbein, E. (1987). Intuition in science and mathematics. Dordrecht, Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
• Fischbein, E., Jehiam, R. & Cohen, C. (1995). The concept of irrational number in high-school students and prospective teachers. Educational Studies in Mathematics, 29, 29‒44. DOI: 10.1007/bf01273899
• Giannakoulias, E., Souyoul, A. & Zachariades, T. (2007). Students’ thinking about fundamental real numbers properties. In: Pitta-Pantazi, D. & Philippou, G. (Eds.). Proceedings of the Fifth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (426–425). Cyprus: ERME, Department of Education, University of Cyprus.
• Glaeser, G. (1981). Epistémologie des nombres relatifs. Rech Didact Math, 2‒3, 303‒346.
• Gray, E. & Doritou, M. (2008). The number line: Ambiguity and interpretation. In: Figueras, O., Cortina, J. L., Alatorre, S., Rojano, T. & Sepu´lveda, A. (Eds.). Proceedings of the joint Meeting of PME 32 and PME-NA XXX Vol. 3 (97‒104). Mexico: Cinvestav-UMSNH.
• Hannula, M. S. (2003). Locating fractions on a number line. In: Pateman, N. A., Dougherty, B. J. & Zilliox, J. T. (Eds.). Proceedings of the 27th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education held jointly with the 25th Conference of PME-NA Vol. 3 (3‒24). Honolulu, HI: PME.
• Hannula, M. S., Pehkonen, E., Maijala, H. & Soro, R. (2006). Levels of students’ understanding on infinity. Teaching Mathematics and Computer Science, 4 (2), 317‒337. DOI:10.5485/TMCS.2006.0129
• Heefer, A. (2011). Historical objections against the number line. Science & Education, 20 (9), 863‒880. DOI:10.1007/s11191-011-9349-0
• Katz, U. K. & Katz, G. M. (2011). Stevin Numbers and Reality. Foundations of Science, 17 (2), 109‒123. DOI:10.1007/s10699-011-9228-9
• Kidron, I. (2016). Understanding irrational numbers by means of their representation as non-repeating decimals.In: Nardi, E., Winsløw, C. & Hausberger, T. (Eds.). First conference of International Network for Didactic Research in University Mathematics (73‒83). Mar 2016, Montpellier, France. hal-01337883f.
• Lemonidis, C. (1990). Conception, réalisation et résultats d’une expérience d’enseignement de l’homothétie (Thèse de Doctorat). Université Louis Pasteur, I.R.E.M. de Strasbourg. DOI:10.12681/eadd/3786
• Lemonidis, C. (1991). Analyse et réalisation d’une expérience d’enseignement de l’homothétie. Recherches en Didactique des Mathématiques (R.D.M), 11 (2‒3), 295‒324.
• Lemonidis, C., Tsakiridou, H. & Meliopoulou, I. (2018). In-Service Teachers’ Content and Pedagogical Content Knowledge in Mental Calculations with Rational Numbers. International Journal of Science and Mathematics Education, 16 (6), 1127‒1145. DOI: 10.1007/s10763- 017-9822-6.1
• Lowrie, R., & Diezmann, C. M. (2005). Fourth-grade students’ performance on graphical languages in mathematics. In: Chick, H. L. &. Vincent, J. L (Eds.). Proceedings of the 30th Annual Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education Vol 3 (265‒272). Melbourne: PME.
• Mitchell, A. & Horne, M. (2008). Fraction number line tasks and the additivity concept of length measurement. In: Proceedings of the 31st annual conference of the mathematics education research group of Australasia (353‒360).
• Mpantes, G. (2013). [Dedekind, continuity and infinity, cuts Dedekind] Ο Dedekind, η συνέχεια και το άπειρο, τομές Dedekind. Retrieved from: https://www.scribd.com/doc/147611828/ last access to 21/06/2019. [in Greek]
• Murphy, C. (2011). Comparing the use of the empty number line in England and the Netherlands. British Educational Research Journal, 37 (1), 147‒161. DOI: 10.1080/01411920903447423
• Murphy, C. (2008). The use of the empty number line in England and the Netherlands. Proceedings of PME, 32 (4), 9‒16.
• Neal, K. (2002). From discrete to continuous. The broadening of number concepts in early modern England. Melbourne: R.W Home, University of Melbourne.
• Núñez, R. E. (2011). No innate number line in the human brain. Journal of Cross-Cultural Psychology, 42 (4), 651‒668. DOI: 10.1177/0022022111406097
• Pearn, C. & Stephens, M. (2007). Whole number knowledge and number lines help develop fraction concepts. In: Watson, J. & Beswick, K. (Eds.). Proceedings of the 30th annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia (MERGA): Mathematics: Essential research, essential practice Vol. 2 (601‒610). Hobart, Sydney: MERGA.
• Petit, M. M., Laird, R. E., Marsden, E. L. & Ebby, C. B. (2010). A focus on fractions: Bringing research to the classroom. London: Routledge.
• Petitto, A. (1990). Development of number line and measurement concepts. Cognition and Instruction, 7 (1), 55‒78. DOI: 10.1207/s1532690xci0701_3
• Pycior, H. (1987). British abstract algebra: development and early reception. Cahiers d’Histoire et de Philosophie des Sciences, 21, 152‒168.
• Roque, T. (2012). Historia da matemαtica: uma visγo critica, desfazendo mitos e lendas. Rio de Janeiro: Jorge Zahar.
• Saxe, G. B., Shaughnessy, M. M., Shannon, A., Langer-Osuna, J. M., Chinn, R. & Gearhart, M. (2007). Learning about fractions as points on a number Line. In: Martin, W. G., Strutchens, M. E. & Elliott, P. C. (Eds.). The learning of mathematics: Sixty-ninth yearbook (221‒237). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
• Schubring, G. (2005). Conflicts between generalization, rigor, and intuition. Number concepts underlying the development of analysis in 17‒19th century France and Germany. New York: Springer. DOI: 10.1007/0-387-28273-4
• Schubring, G. (1986). Ruptures dans le statut mathématique des nombres négatifs. Petit x, 12, 5‒32.
• Sinkevich, G. (2015). On the History of Number Line. Saint Petersburg: Department of Mathematics, Saint Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering. Retrieved January 18, 2020 from www: https://www.academia.edu/20922833/On_the_history_of_number_line.
• Sirotic, N. & Zazkis, R. (2007). Irrational numbers on the number line – where are they? International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 38 (4), 477‒488. DOI: 10.1080/00207390601151828
• Skoumpourdi, C. (2010). The number line: An auxiliary means or an obstacle? International Journal for Mathematics Teaching and Learning (Electronic Journal).
• Struik, D. J. (1982). [A Brief History of Mathematics] Συνοπτική ιστορία των Μαθηματικών. Αθήνα: Ζαχαρόπουλος. [in Greek]
• Teppo, A. & Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2014). Visual representations as objects of analysis: the number line as an example. ZDM, 46 (1), 45‒58. DOI: 10.1007/s11858-013-0518-2
• Thomaidis, Y. (1995). Didactic transposition of mathematical concepts and learning obstacles (The case of absolute value) (doctoral thesis). Greece: Aristotle University of Thessaloniki. [in Greek]
• Thomaidis, Y. & Tzanakis, C. (2007). Historical evolution and students’ conception of the order relation on the number line: the notion of historical “parallelism” revisited. Educational Studies in Mathematics, 66, 165‒183. DOI: 10.1007/s10649-006-9077-6
• Tirosh, D. & Stavy, R. (1996). Intuitive rules in science and mathematics: The case of “everything can be divided by two”. International Journal of Science Education, 18, 669‒683. DOI: 10.1080/0950069960180603
• Treffers, A. (1993). Wiskobas and Freudenthal: realistic mathematics education. Educational Studies in Mathematics, 25 (1‒2), 89‒108. DOI: 10.1007/978-94-017-3377-9_6
• Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2008). Learning from “Didactikids”: An impetus for revisiting the empty number line. Mathematics Education Research Journal, 20 (3), 6‒31. DOI: 10.1007/bf03217528
• Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2003). The didactical use of models in realistic mathematics education: An example from a longitudinal trajectory on percentage. Educational Studies in Mathematics, 54 (1), 9‒35. DOI: 10.1023/b:educ.0000005212.03219.dc
• Van der Waerden, B. L. (1985). A history of algebra. From al-Khwarizmi to Emmy Noether. Berlin: Springer-Verlag.
• Vamvakoussi, X. & Vosniadou, S. (2012). Bridging the gap between the dense and the discrete: The number line and the “rubber line” bridging analogy. Mathematical Thinking and Learning, 14 (4), 265‒284. DOI: 10.1080/10986065.2012.717378
• Vamakoussi, X. & Vosniadou, S. (2010). How many decimals are there between two fractions? Aspects of secondary school students’ understanding of rational numbers and their notation. Cognition and Instruction, 28, 181‒209. DOI: 10.1080/07370001003676603
• Vamvakoussi, X. & Vosniadou, S. (2007). How many numbers are there in an interval? Presuppositions, synthetic models and the effect of the number line. In: Vosniadou, S., Baltas, A. & Vamvakoussi, X. (Eds.). Reframing the conceptual change approach in learning and instruction (267‒283). Oxford, UK: Elsevier.
• Vamvakoussi, X. & Vosniadou, S. (2004). Understanding the structure of the set of rational numbers: A conceptual change approach. Learning and Instruction, 14, 453‒467. DOI: 10.1016/j.learninstruc.2004.06.013
• Waerden, B. L. (1985). A history of algebra: from Al-Khwārizmī to Emmy Noether. Springer.
• Wilder, L. R. (1986). Εξέλιξη των μαθηματικών εννοιών. The Open University. Αθήνα: Π. Κουτσουμπός Α. Ε. [The evolution of mathematical concepts] [in Greek]

Copyright © 2020 by the authors, licensee Teacher Education Faculty University of Belgrade, SERBIA. This is an open access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License (CC BY 4.0) (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original paper is accurately cited