M. R. Massa Esteve, Universitat Politècnica de Catalunya, Departament de Matemàtiques, Centre de Recerca per a la Història de la Tècnica, Barcelona, Spain, e-mail: m.rosa.massa@upc.edu
Иновације у настави, XXXIII, 2020/1, стр. 21–35

| PDF | | Extended summary PDF |
doi: 10.5937/inovacije2001021E

Summary: The knowledge of the processes in the history of mathematics is very useful for a greater and complete comprehension of the foundations and nature of mathematics. The algebraization of mathematics was a key process in the transformation of the seventeenth century mathematics if we consider two of its relevant features: a new symbolic language and an analytic method for solving problems. The aim of this article, within the framework of the algebraization of mathematics, is to analyze the results of the implementation of a historical activity in a mathe-matics history course for the bachelor’s degree in mathematics, which includes singular geometric constructions for solving equations. Furthermore, the article shows that students gain a better understanding of the role of the relationship between algebra and geometry in the development of mathematics, which helps them to improve their mathematical training.

Keywords: seventeenth-century, learning mathematics, algebra, geometry, algebraization of mathematics.

М. Р. Маса Естеве, Политехнички универзитет у Каталонији, Катедра за математику, Центар за истраживање историје техничких наука, Барселона, Шпанија

МАТЕМАТИКЕ: КОРИШЋЕЊЕ ОРИГИНАЛНИХ ИЗВОРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ

Познавање процеса који су се одвијали у историји математике врло је корисно за боље и потпуније разумевање основа математике и саме њене природе. Активности засноване на анализи важних историјских извора доприносе свеобухватнијој припреми студената будућих наставника математике, тако што им пружају додатна знања у вези са друштве ним и научним контекстима периода који су предмет проучавања, док се математика може сматрати интелектуалном активношћу за решавање проблема својствених сваком периоду. Историја нам показује да се друштва развијају захваљујући деловању науке, а математика је суштински део тог процеса. Читање старих математичких текстова омогућава нам да боље схватимо како математика није готов производ, већ је динамична, корисна, хумана, интердисциплинарна и хеуристичка наука која се развијала кроз напоре да се реше проблеми са којима се човечанство суочавало кроз историју. Циљ овог рада је да анализира, у оквирима алгебаризације математике, резултате примене једне наставне активности на часовима историје математике за студенте основних студија математике у којој се поједине геометријске конструкције користе за решавање једначина. Алгебаризација математике била је кључни процес у трансформацији математике у 17. веку, поготово ако узмемо у обзир њене две битне карактеристике: стварање новог симболичког језика и увођење аналитичког метода за решавање математичких проблема. Заправо, објављивање 1591. године дела Франсоа Вијета (1540-1603) под називом In Artem Analyticen Isagoge, представљало је корак напред у процесу развоја симболичког језика и аналитичког метода за решавање математичких проблема. У каснијем периоду, Пјер Ферма (1601-1665) био је један од математичара који су користили ову алгебарску анализу за решавање геометријских проблема. На процес алгебраизације највише је утицао Рене Декарт (1596-1650) који је дело под називом La Géométrie објавио 1637. године, као додатак другомделу, Discours de la Méthode. Проучавањем порекла полинома и једначина које се на њих односе у оквиру историје геометријских конструкција за решавање једначина студенти математике, али и ученици средњих школа, наићи ће на делове у којима ће сазнати нештоново и поучно. У овом раду представљена је једна наставна активност, смештена у оквире алгебаризације математике из 17. века, која садржи појединачне геометријске конструкције за решавање једначина. Активност је примењена на часовима основних студија математике. Прво описујемо и поредимо, користећи оригиналне историјске изворе, образложења за решења геометријских задатака која су у својим делима изложили Вијет и Декарт, а потом анализирамо ставове студената о значењу алгебаризације математике које су изнели у одговорима на питања која је припремио наставник. Осим тога, у раду показујемо да студенти тако боље разумеју улогу коју однос између алгебре и геометрије има у развоју математике, што им помаже да унапреде своја математичка знања. Најзначајнији резултати добијени су из одговора студената. Састављање и поређење ових геометријских конструкција такође помаже студентима да развију аналитичко и синтетичко резоновање, као и да унапреде своја математичка знања. Поред тога, спроведена анализа и ставови студената о историјским геометријским конструкцијама насталим коришћењем алгебарских израза пружају нам богат извор идеја у вези са односом између алгебре и геометрије током историје. Кроз ову активност студенти уче да су алгебра и геометрија на крају процеса алгебаризације постале комплементарне, те да су повезивањем и координацијом ове две гране математике настале нове области које су довеле до развоја модерне математике.

Kључне речи: седамнаести век, учење математике, алгебра, геометрија, алгебаризација математике.

References

• Allaire, P. R. & Bradley, R. E. (2001). Geometric approaches to Quadratic Equation from Other Times and Places. Mathematics Teacher, 94 (4), 308‒319.
• Al-khwarizmi (1986). The Algebra of Mohammed ben Musa. Rosen, F. (trans & Ed). Hildesheim/Zürich/New York: George Olms-Verlag.
• Bashmakova, I. & Smirnova, G. (2000). The Beginnings & Evolution of Algebra. Washington: The Mathematical Association of America.
• Bombelli, R. (1966). L’algebra. Bortolotti, E. (Ed.). Milan: Giangiacomo Feltrinelli Editore.
• Bos, H. J. M. (2001). Redefining Geometrical Exactness. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. New York: Springer-Verlag.
• Bruckheimer, M. & Arcavi, A. (2000). Mathematics and its History ‒ an Educational Partnership. In: Katz, V. (Еd.). Using History to Teach Mathematics: An International Perspective (135‒148). Washington: The Mathematical Association of America.
• Calinger, R. (Ed.) (1996). Vita Mathematica. Historical research and Integration with teaching. Washington: The Mathematical Association of America.
• Cardano, H. (1545). Artis Magnae Sive De Regulis Algebraicis. Nuremberg: John Petreius.
• Descartes, R. (1637). La géométrie. The geometry of René Descartes by Smith, D. E., Latham, M. L. (Trad. and Edit). New York: Dover, 1954.
• Furinghetti, F., Jahnke, H. N. & Van Maanen, J. (2006). Mini-workshop on Studying Original Sources in Mathematics Education (1285‒1318). Oberwolfach: Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach.
• Giusti, E. (1992). Algebra and Geometry in Bombelli and Viète. Bollettino di Storia delle scienze matematiche, 12, 303‒328.
• Heath, T. L. (1956). The Thirteen Books of Euclid’s Elements. New York: Dover Publications.
• Heeffer, A. (2006). Learning concepts through the history of mathematics: The case of symbolic algebra. In: Bishop, A., François, K. & Van Bendegem, J. P. (Eds.). Philosophical Dimensions in Mathematics Education (83‒103). Springer: Heidelberg.
• Herrero, P. J., Linero, A. & Mellado, A. (2017). Algunos métodos de resolución numérica de ecuaciones del siglo XVI y su aplicación al aula de secundaria. In: Grapi, P. & Massa Esteve, M. R. (Eds.). Actes de la XV Jornada sobre la Història de la Ciència i l’Ensenyament (41‒48). Barcelona: Institut d’Estudis Catalans, Societat Catalana d’Història de la Ciència i de la Tècnica.
• Hoyrup, J. (2010). Hesitating progress – the slow development toward algebraic symbolization in abacusand related manuscripts, c. 1300 to c. 1550. In: Heeffer, A. & Van Dyck, M. (Eds.). Philosophical Aspects of Symbolic Reasoning in Early Modern Mathematics (3‒56). London: College Publications.
• Jahnke, H. N., Arcavi, A., Barbin, E., Bekken, O., Furinghetti, F., Idrissi, A. E., Silva da Silva, C. M. & Weeks, C. (2000). The use of original sources in the mathematics classroom. In: Fauvel, J. & Maanen, J. V. (Eds.). History in Mathematics Education: the ICMI study (291–328). Dordrecht: Kluwer.
• Katz, V. J. (2007). Stages in the history of algebra with implications for teaching. Educational Studies in Mathematics, 66 (2), 185‒201. DOI: 10.1007/s10649-006-9023-7
• Katz, V. & Tzanakis, C. (Eds.) (2011). Recent developments on introducing a historical dimension in mathematics. Washington, D.C.: The Mathematical Association of America.
• Katz, V. & Parshall, K. H. (2014). Taming the unknown: A History of Algebra from Antiquity to the early twentieth century. Princeton: Princeton University Press.
• Mahoney, M. S. (1973). The mathematical career of Pierre de Fermat. Princeton: Princeton University Press.
• Mahoney, M. S. (1980). The beginnings of algebraic thought in the seventeenth century. In: Gaukroger, S. (Ed.). Descartes’ philosophy, mathematics and physics (141–156). Totowa/ Brighton: Barnes and Noble/ Harvester.
• Mancosu, P. (1996). Philosophy of Mathematics and Mathematical Practice in the Seventeenth Century. Oxford: Oxford University Press.
• Massa Esteve, M. R. (2001). Las relaciones entre el álgebra y la geometría en el Siglo XVII. Llull, 24, 705‒725.
• Massa Esteve, M. R. (2003). Aportacions de la història de la matemática a l’ensenyament de la matemática. Biaix, 21, 4‒9.
• Massa Esteve, M. R. (2005). Les equacions de segon grau al llarg de la historia. Biaix, 24, 24‒15.
• Massa Esteve, M. R. (2006). L’Algebrització de les Matemàtiques. Pietro Mengoli (1625-1686). Barcelona: Institut d’Estudis Catalans, Societat Catalana d’Història de la Ciència i de la Tècnica.
• Massa Esteve, M. R. (2008). Symbolic language in early modern mathematics: The Algebra of Pierre Hérigone (1580‒1643). Historia Mathematica, 35, 294‒295. DOI: 10.1016/j.hm.2008.05.003
• Massa Esteve, M. R. (2010). Àlgebra i geometria al Libro de álgebra en Arithmética y Geometría (1567) de Pedro Núñez. Quaderns d’Història de l’Enginyeria, XI, 101‒125.
• Massa Esteve, M. R., Guevara Casanovas, I., Romero Vallhonesta, F. & Puig-Pla, C. (2011). Understanding Mathematics using original sources. Criteria and Conditions. In: Barbin, E., Kronfellner, M. & Tzanakis, C. (Eds.). History and Epistemology in Mathematics Education. Proceedings of the Sixth European Summer University (415‒428). Vienna: Verlag Holshausem GmbH.
• Massa Esteve, M. R. (2012a). The role of symbolic Language in the transformation of mathematics. Philosophica, 87, 153‒193.
• Massa Esteve, M. R. (2012b). The Role of the History of Mathematics in Teacher Training using ICT. In: Bruneau, O., Grapí, P., Heering, P., Laubé, S., Massa Esteve, M. R. & Vitori, T. (Eds.) Innovative Methods fo Science Education: History of Science, ICT and Inquiry Based Science Teaching (81‒107). Berlin: Frank and Timme GmbH.
• Massa Esteve, M. R. (2014). Historical activities in the mathematics classroom: Tartaglia’s Nova Scientia (1537). Teaching Innovations, 27 (3), 114‒126. DOI: 10.5937/inovacije1403114E
• Núñez, P. (1567). Libro de Algebra en Arithmetica y Geometría. Anvers: Herederos de Arnoldo Birckman.
• Oaks, J. A. (2018). François Viète’s revolution in algebra. Archive for History of Exact Sciences, 72, 245‒302. DOI: 10.1007/s00407-018-0208-0
• Parshall, K. H. (1988). The art of Algebra from Al-Khwarizmi to Viète: a study in the natural selection of ideas. History of Science, 26, 129‒164. DOI: 10.1177/007327538802600202
• Parshall, K. H. (2017). A Plurality of algebras, 1200‒1600. Algebraic Europe from Fibonacci to Clavius. BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics, 32 (1), 2‒16. DOI:10.1080/17498430.2016.1225340.
• Pycior, H. M. (1997). Symbols, Impossible Numbers and Geometric Entanglements: British Algebra through the Commentaries on Newton’s “Universal Arithmetick”. Cambridge: Cambridge University Press.
• Radford, L. (2006). The cultural-epistemological condition of the emergence of algebraic symbolism. In: Furinguetti, F., Kaijser, S. & Tzanakis, C. (Eds.). Proceedings of the 2004 History and Pedagogy of Mathematics Conference & ESU4 (509‒524). Uppsala, Sweden.
• Roca-Rosell, A. & Lusa, G. (2009). Perspectiva histórica de la técnica. Enseñanza de las Ciencias (3713‒3716). Número Extra VIII Congreso Internacional sobre Investigación en Didáctica de las Ciencias, Barcelona.
• Romero, F., Guevara Casanovas, I., Massa Esteve, M. R., Puig-Pla, C. & Roca-Rosell, A. (2015). Teacher training in the history of mathematics. In: Barbin, E., Jankvist, U. T. & Kjeldsen, T. H. (Eds.). History and Epistemology in Mathematics Education. Proceedings of the Seventh European Summer University (113‒128). Aarhus: Danish School of Education.
• Sigler, L. E. (Еd.) (2002). Fibonacci’s Liber Abaci. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. New York: Springer-Verlag.
• Stedall, J. (2011). From Cardano’s Great Art to Lagrange’s reflections: filling a gap in the history of algebra. Zurich: European Mathematical Society.
• Viète, F. (1591). In Artem Analyticen Isagoge. Seorsim excussa ab Operae restituae mathematicae analyses, seu algebra nova. Turonis: apud Iametium Mettayer typographum regium.
• Viète, F. (1646). Opera Mathematica. Schooten, F. A. (Еd.) Hildesheim-NewYork, Georg Olms Verlag. Reprinting 1970.

Copyright © 2020 by the authors, licensee Teacher Education Faculty University of Belgrade, SERBIA. This is an open access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License (CC BY 4.0) (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original paper is accurately cited