Olivera J. Đokić, University of Belgrade, Teacher Education Faculty, Belgrade, Serbia,  e-mail: olivera.djokic@uf.bg.ac.rs
Mila S. Jelić, University of Belgrade, Teacher Education Faculty, Belgrade, Serbia
Svetlana M. Ilić, University of Belgrade, Teacher Education Faculty, Belgrade, Serbia
Иновације у настави, XXXIII, 2020/1, стр. 1–20

| PDF | | Extended summary PDF |
doi: 10.5937/inovacije2001001D

Summary: Drawing upon Fischbein’s theory of figural concepts, the starting point of the paper is the use and value of the history of geometry in mathematics education – first point that we make historical reference are theorems of Eudemus of Rhodes and Thales of Miletus and the second one is elaboration of these theorems in work of Serbian mathematicians Mihailo Petrović Alas. Fischbein’s theory is mainly based on a hypothesis that geometry deals with mental entities, the so-called geometric figures, which simultaneously possess conceptual and figural properties. Fischbein called the geometric figures figural concepts because of their nature. We have analyzed the internal tensions of the concepts of angle and cube, which may appear in figural concepts because of their double nature, developmental aspects and didactical implications. The goal of the research was to examine the pre-service primary school teachers’ geometric reasoning regarding the correlation between figural (pictoral) and conceptual properties of geometric objects (angle and cube) in order to obtain a framework for creating didactic situations that reduce the gap between figure and concept. The results of this study show that the figural (pictoral) structure of an angle (and cube) dominates in the geometric reasoning of the pre-service primary school teachers over its formal conceptual constraints. There were some differences in situations when an image is helpful in solving tasks involving the concepts of the net of the cube and the cube itself.

Keywords: history of geometry, figural concept, geometric definition, instruction, geometric reasoning.

Оливера Ј. Ђокић, Мила С. Јелић, Светлана М. Илић, Универзитет у Београду, Учитељски факултет

ПОВЕЗАНОСТ СЛИКОВНИХ И ПОЈМОВНИХ СВОЈСТАВА УГЛА И КОЦКЕ У ГЕОМЕТРИЈСКОМ РЕЗОНОВАЊУ БУДУЋИХ УЧИТЕЉА

Полазиште овог рада представљају улога и вредност историје геометрије у математичком образовању, ослањајући се на Фишбајнову теорију фигуралних појмова ‒ прва историјска тачка са којом правимо копчу су теореме Еудема са Родоса и Талеса из Милета, док је друга тачка елаборирање наведених теорема кроз рад српског математичара Михаила Петровића Аласа. Фишбајнова теорија се углавном базира на претпоставци да геометрија оперише менталним ентитетима, такозваним геометријским објектима, који истовремено поседују појмовна (нпр. идеална, апстрактна, општа) и сликовна својства (нпр. облик, положај, величина). У математици дефиниција објекта изводи се директно или дедуктивним доказом, што значи да и интерпретација сликовних компоненти геометријских објеката у потпуности треба да буде подвргнута формалним ограничењима која проистичу из дефиниција. Међутим, Винер и Херсхковиц (види у Dreyfus, 2014: 50) истичу да геометријско резоновање ученика не мора нужно да буде засновано на дефиницијама, већ на прототипским примерима. У овом раду истражили смо различите примере из историје геометрије у математичком образовању у којима постоји ситуација да слика или не-прототипски пример доводе до унутрашње тензије засноване на стварном концептуалном разумевању објекта, односно, до ситуације у којој слика доминира над формалном дефиницијом. Појмовна слика (Vinner, Hershkowitz, Tall, види у Dreyfus, 2014: 5), дефинисана као свеукупна когнитивна структура која је у уму појединца повезана са појмом (нпр. слике, примери, речи), може да одступа од формалне дефиниције појма (Dreyfus, 2014). Према Фишбајну, интеграција појмовних и сликовних својстава објеката, у којој појмовна ограничења доминирају над сликовним, није природан процес. Винер, Херсхковиц и  Тал сматрају да у математичком образовању мора да се прави разлика између когнитивних процеса који доводе до стварања појмова и формално дефинисаних математичких појмова. Овај процес захтева континуирано, систематично и темељно припремање наставника. Конфликтне ситуације треба да покажу ученицима како да пажљиво следе захтеве које намећу дефиниције, што понекад може бити у супротности са оним што слике приказују (или намећу). Циљ истраживања је испитивање геометријског резоновања будућих учитеља у вези са повезаношћу сликовних (фигуралних) и појмовних својстава геометријских објеката. Формулисана су два истраживачка задатка: 1) утврдити да ли сликовна структура угла доминира у геометријском резоновању будућих учитеља над формалним ограничењима појма и 2) испитати у којим ситуацијама слика може да олакша резоновање будућих учитеља при решавању задатака у којим један од два горе поменута аспекта доминира над другим. Неслучајни пригодни узорак истраживања чине 64 студента завршне године Учитељског факултета у Београду (будући учитељи). У истраживању су коришћене дескриптивна метода и техника тестирања. Добијени резултати анализирани су квалитативно и квалитативно. Истраживачки поступак операционализован је кроз четири задатка. У првом задатку, од студената се тражило да напишу дефиницију угла и да одреде које тачке припадају углу са слике у два примера, од којих је први прототипски приказ угла, а други је приказ угла у оквиру правоугаоника. У другом задатку требало је означити заједничку тачку између два објекта: праве и дужи, две полуправе, и две дужи. Трећи и четврти задатак односили су се на мрежу коцке и од студената се тражило да замисле како би мрежа изгледала да је склопњена у коцку. Последња два задатка су поновљена, уз додатну инструкцију: студенти су морали да нацртају и означе склопљену мрежу коцке. Резултати истраживања показују да фигурална (сликовна) структура угла доминира у геометријском резоновању будућих учитеља над формалним ограничењима појма. Чак и онда када су студенти успешно дефинисали угао и увидели да постоје различите врсте угла, када посматрају слику, не показују да су разумели појам угла. Поред тога, студенти су били знатно успешнији приликом одређивања тачака које припадају прототипској слици угла, него у одређивању тачака које припадају углу у оквиру геометријске фигуре. Када је реч о другом истраживачком задатку, уочене су одређене разлике у ситуацијама када је слика била од помоћи студентима у решавању задатака који су се односили на мрежу коцке и коцку. У тежем задатку (од студената се тражило да одреде ивице и темена која се преклапају) слика није помогла студентима да постигну бољи резултат,‚док су у решавању лакшег задатка (о странама коцке) постигли знатно бољи резултат, што доводи до закључка да овакви задаци пружају прилику будућим учитељима да развију математичко резоновање, док им слика може бити од користи само у одређеним и мање сложеним ситуацијама. Наш закључак је да је неопходно радити на фигуралним (сликовним) и појмовним аспектима геометријских објеката како би се разрешиле ситуације са унутрашњом тензијом и ојачало разумевање корелације између фигуралних и појмовних својстава у оквиру почетне наставе геометрије. Поред тога, будући да знање учитеља утиче на креирање инструкција, важно је да они буду упознати са кључним својствима геометријских објеката, да разумеју дефиниције и њихову улогу у математици, као и да умеју да изаберу одговарајуће примере који утичу на планирање наставних активности које се односе на геометријске објекте.

Кључне речи: историја геометрије, фигурални појам, геометријска дефиниција, инструкција, геометријско резоновање.

References

• Al-Murani, T., Kilhamn, C., Morgan, D. & Watson, A. (2019). Opportunities for learning: the use of variation to analyse examples of a paradigm shift in teaching primary mathematics in England. Research in Mathematics Education, 21 (1), 6‒24. DOI: 10.1080/14794802.2018.1511460.
• Andrić, V. (2018). Pedagogical Work оf Mihailo Petrović Alas (1868‒1943) ‒ On the occasion of Mihailo
• Petrović’s 150th anniversary. The Teaching of Mathematics, 21 (1), 29–37. Retrieved November 13, 2019. from http://www.teaching.math.rs/vol/tm2113.pdf
• Bingolbali, E. & Monaghan, J. (2008). Concept image revisited. Educational Studies in Mathematics, 68 (1), 19‒35. DOI: 10.1007/s10649-007-9112-2
• Cohen, J. W. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
• Dejić, M. (2001). Prikaz manje poznatih radova Mihaila Petrovića Alasa, namenjenih nastavnicima i učenicima osnovnih i srednjih škola. Pedagoška stvarnost, 47 (7‒8), 612‒623.
• Dejić, M. (2013). Broj, mera, bezmerje. Beograd: Učiteljski fakultet.
• Dejić, M. (2020). Mihailo Petrović Alas’s contribution to development of interest for mathematics. Teaching Innovations, 33 (1), 97-106, DOI: 10.5937/inovacije2001097D.
• Dreyfus, Т. (2014). Solid Findings: Concept Images in Students’ Mathematical Reasoning. Newsletter of the European Mathematical Society, 93, 50‒52.
• Duval, R. (1998). Geometry from a cognitive point of view. In: Mammana, C. & Villani, V. (Eds.). Perspectives on the teaching of geometry for the 21st century (37‒52). Dordrecht: Kluwer
• Đokić, O. (2017). Realno okruženje u početnoj nastavi geometrije. Beograd: Učiteljski fakultet.
• Đokić, O., Zeljić, M. (2017). Teorije razvoja geometrijskog mišljenja prema Van Hilu, Fišbajnu i Udemon- uzniaku. Teme, 41 (3), 623‒637. DOI: 10.22190/TEME1703623D.
• Đokić, O., Jelić, M. & Ilić, S. (2019). The Relationship between Images and Concepts in the Initial Geometry Teaching. In: Lawrence, S., Mihajlović, A. & Đokić, O. Proceedings of the Training Conference History o Mathematics in Mathematics Education (29‒40). October 26‒30, 2018, Jagodina, Serbia. Jagodina: Fakultet pedagoških nauka.
• Edwards, B. S. & Ward, M. B. (2004). Surprises from mathematics education research: student (mis)use of mathematical definitions. The American Mathematical Monthly, 111 (5), 411–424. DOI: 10.2307/4145268
• Edwards, B. S. & Ward, M. B. (2008). The Role of Mathematical Definitions in Mathematics and in Undergraduate Mathematics Courses. In: Carlson, M. & Rasmussen, C. (Eds.). Making the Connection: Research and Teaching in Undergraduate Mathematics Education (223‒232). Mathematical Association of America. DOI:10.5948/UPO9780883859759.018
• Fischbein, E. (1993). The Theory of Figural Concepts. Educational Studies in Mathematics. 24 (2), 139‒162. DOI: 10.1007/BF01273689
• Fischbein, E. & Nachlieli, T. (2006). Concepts and figures in geometrical reasoning. International Journal of Science Education, 20 (10), 1193‒1211. DOI: 10.1080/0950069980201003
• Franke, T. M., Ho, T. & Christie, C. A. (2012). The Chi-Square Test: Often Used and More Often Misinterpreted. American Journal of Evaluation, 33 (3) 448‒458. DOI: 10.1177/1098214011426594
• Furinghetti, F. (2019). History and epistemology in mathematics education. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 1-28. DOI: 10.1080/0020739X.2019.1565454
• Gal, H. & Linchevski, L. (2010). To see or not to see: analyzing difficulties in geometry from the perspective of visual perception. Educational Studies in Mathematics, 74 (2), 163‒183. DOI: 10.1007/s10649-010-9232-y
• Gulikers, I. & Blom, K. (2001). A Historical Angle – A Survey of Recent Literature on the Use and Value of History in Geometrical Education. Educational Studies in Mathematics, 47 (2), 223-258. DOI: 10.1023/A:1014539212782
• Guo, Ј. & Pang, М. (2011). Learning a mathematical concept from comparing examples: The impotance of variation and prior knowledge. European Journal of Education, 26 (4), 495‒525. DOI: 10.1007/s10212-011-0060-y
• Hershkowitz, R. (1987). The Aquisition of Concepts and Misconception in Basic Geometry ‒ Or When “A Little
• Learning is a Dangerous Thing”. In: Novak, J. (Еd.). Proceedings of the second international seminar Misconceptions and Educational Strategies in Science and Mathematics 3 (238‒252). 26‒29 July 1987. Ithaca, NY: Cornell University.
• Kidron, I. (2011). Constructing knowledge about the notion of limit in the definition of the horizontal asymptote. International Journal of Science and Mathematics Education, 9 (6), 1261–1279. DOI: 10.1007/s10763-010-9258-8
• Lawrence, S. (2014). Mathematics Education in the Balkan Societies Up To the WWI. Teaching Innovations, 27 (3), 46‒57. DOI: 10.5937/inovacije1403046L
• Lemonidis, C. (1997). A few remarks regarding the teaching of Geometry, through a theoretical analysis of the geometrical figure. Nonlinear Analysis, 30 (4), 2087‒2095. DOI: 10.1016/S0362-546X(97)00294-0
• Shimizu, S. et al. (2012). Fun with MATH for elementary school (Grade 4, part B). Osaka, Japan: KEIRINKAN.
• Sinclair, N. & Bruce, C. (2015). New opportunities in geometry education at the primary school. ZDM Mathematics Education, 47 (3), 319–329. DOI 10.1007/s11858-015-0693-4
• Тsamir, P., Tirosh, D., Levenson, E., Barkai, R. & Tabach, M. (2015). Early-years teachers’ concept images and concept definitions: triangles, circles, and cylinders. ZDM Mathematics Education, 47 (3), 497‒509. DOI: 10.1007/s11858-014-0641-8
• Vinner, S. (2018). Mathematics, Education, and Other Endangered Species: From Intuition to Inhibition. Springer International Publishing. DOI: 10.1007/978-3-319-90035-3
• Walshaw, M. (2018). Epistemological Questions About School Mathematics. In: Ernest, P. (ed.). The Philosophy of Mathematics Education Today. ICME-13 Monographs (161–171). Springer International Publishing. DOI: 10.1007/978-3-319-77760-3_10

Copyright © 2020 by the authors, licensee Teacher Education Faculty University of Belgrade, SERBIA. This is an open access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License (CC BY 4.0) (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original paper is accurately cited