Şahin Danişman, Düzce University, Faculty of Education, Turkey, e-mail: sahindanisman@duzce.edu.tr
Mustafa Güler, Trabzon University, Fatih Faculty of Education, Turkey
Иновације у настави, XXXII, 2019/1, стр. 105–116

| PDF | | Extended summary PDF |
doi:10.5937/inovacije1901105D

Abstract: The main focus of this study was to examine the mathematical thinking skills of the undergraduates in an adidactical situation. Didactical Situations Theory was adopted to explain and determine the complexity of students’ mathematical thinking. The current case study was conducted with 16 volunteers, pre-service primary school teachers of mathematics and a task called “500 lockers” was used to challenge their reasoning process. The data obtained through observation and student works were analyzed deductively and according to the five stages of adidactical learning described by Brousseau (2002). One of the main results of the study is that the designed learning environment with the given problem context provoked participants to make conjectures and provided them with an opportunity to defend their own hypotheses. Consequently, the implementation of the problem resulted in invaluable reflections enhancing participants’ mathematical thinking.

Keywords: Didactical situations, adidactical learning setting, problem solving, 500 lockers problem

ПРОЦЕС РЕШАВАЊА ПРОБЛЕМА ПОМОЋУ ТЕОРИЈЕ ДИДАКТИЧКИХ СИТУАЦИЈА: ПРОБЛЕМ 500 ОРМАРИЋА

Проширени резиме
Фокусирајући се на активно учешће појединаца, Брусоова (Brousseau) Теорија дидактичких ситуација [ТДС] (2002) наводи да се „савлађивање математике не састоји само од примања, учења и слања исправних, релевантних (одговарајућих) математичких порука” (стр. 15). Дидактичка ситуација састоји се од пет фаза које се укратко могу описати на следећи начин: (1) фаза деволуције у којој наставник преноси одговорност на ученике, (2) фаза деловања у којој ученици износе нове хипотезе о томе како решити одређени математички проблем, (3) фаза формулације у којој ученици артикулишу своју хипотезу (4) фаза валидације у којој се тестира ваљаност хипотеза и на крају (5) институционализација, у којој наставник нуди могућа решења за дати проблем и представља проблем у различитим контекстима, док су ранија решења основа за разумевање (Brousseau, 2002). ТДС представља оквир за ово истраживање зато што ученици покушавају да самостално стекну знање и, што је најважније, зато што је анализирање начина на који ученици уче у овом процесу, а не како наставници предају предмет, полазна основа у нашем истраживању. У томх контексту, циљ овог рада је да се испитају вештине математичког мишљења ученика у адидактичној ситуацији кроз решавање проблема заснованог на промишљању. Наше истраживање је важно зато што пружа основу за спровођење дидактичке ситуације у оквиру ТДС-а пребацивањем проблема ормарића у другачији контекст и испитивањем понашања ученика у окружењу које захтева од њих да се укључе у процесе виших нивоа размишљања.
У овој студији случаја учествовало је 16 студената на добровољној основи. Циљ решавања проблема са ормарићима био је да се утврде математички процеси размишљања будућих учитеља. Проблем се састојао од отварања и затварања врата свих ормарића, односно, конкретније, први студент отвара све ормариће, други затвара врата ормарића са парним бројевима, трећи мења стање сваког трећег ормарића. „Колико ће ормарића бити отворено када свих 500 ученика отвори или затвори ормариће на горе описани начин?”
У дедуктивној анализи, у којој су подаци анализирани према постојећем оквиру, коришђене су белешке истраживача, видео снимци, скице група на предатим папирима (Patton, 2002, стр. 443). Анализа података је спроведена у складу са поставкама ТДС-а, тј. фазама деволуције, деловања, формулације, валидације и институционализације. Фаза деволуције: Наведени проблем представљен је студентима и речено је шта се од група очекује како би се постигао ефективан процес решавања проблема. Фаза деловања: Најважнији индикатор у овој фази био је да су учесници страствено расправљали о могућим решењима унутар група и износили су своје стратегије. Фаза формулисања: Учесници који су покушавали да реше задатак помоћу принципа погрешке и исправљања такође су у овој фази доносили математички разумне и прихватљиве закључке. Групе су предложиле три хипотезе. Хипотеза 1: Ормарићи означени бројевима 1, 4, 9, 18, 35, 68, 133, 262 су отворени. Хипотеза 2: Ормарићи обележени простим бројевима увек су затворени. Хипотеза 3: Oрмарићи обележени потпуним квадратима (1, 4, 9, 16, …) су отворени. Фаза валидације: Учесници су почели да расправљају о својим аргументима убрзо након што су изнели своје хипотезе. Од њих се тражило да образложе зашто мисле да су њихова решења исправна. Затим су групе покушале да убеде једне друге да су њихови аргументи исправни. Фаза институционализације: Изнете и образложене хипотезе су потом поново експлицитно наведене. На тај начин студенти могу да генерализују ѕадати проблем и до 1000 ормарића, или могу да открију на које ормариће се примењују две операције и тако дектонтекстуализују проблем. Учесници су настојали да хипотетизују решење и да потврде или оповргну изнете хипотезе. Штавише, учесници су били у интеракцији са задатом проблематиком, а да би дошли до закључка, користили су и принцип учења кроз грешке и исправљање погрешног размишљања. С друге стране, групне дискусије пружиле су учесницима прилику да бране своје хипотезе и доказују ставове на основу математичког расуђивања, као и да представе сопствене математичке аргументе. Сешајер, Сух и Фриман (Seshaiyer, Suh and Freeman, 2012) су такође закључили да је овај проблем погодан за све студенте и да коришћење модела, уз стратегије уживљавања у проблем, привлачи и мотивише студенте. Међутим, у овом истраживању учесници су морали да размишљају апстрактно и да створе сопствене хипотезе. Можемо да закључимо да су учесници у истраживању добровољно и ненамерно остварили пет ступњева адидактичког учења. Учесници су такође изразили мишљење о свом искуству у датом окружењу, изјавивши да су уживали у процесу решавања проблема више него у исходу, а навели су и да је ово искуство проширило њихове видике и натерало их да размишљају о свом будућем раду у учионици.

Кључне речи: дидактичке ситуације, адидактичке ситуације, решавање проблема, проблем 500 ормарића.

References

• Arslan, S., Baran, D., & Okumuş, S. (2011). Brousseau’s Theory of Didactical Situations in mathematics and an application of adidactical situations. Necatibey Faculty of Education Electronic Journal of Science and Mathematics Education, 5(1), 204-224.
• Arslan, S., Taşkın, D., & Kirman Bilgin, A. (2015). Effect of individual and group works on students’ success in adidactical situations. Turkish Journal of Computer and Mathematics Education, 6(1), 47-67.
• Brophy, J. (Ed.). (2002). Social constructivist teaching: Affordances and constraints. Oxford, UK: Elsevier Science.
• Brousseau, G. (2002). Theory of didactical situations in mathematics. London: Kluwer Academic Publisher.
• Calder, N. (2010). Using stratch: An integrated problem-solving approach to mathematical thinking. Australian Primary Mathematics Classroom, 15(4), 9-14.
• Cobb, P. (1988). The tension between theories of learning and instruction in mathematics education. Educational Psychologist, 23(2), 87-103.
• Çelik, D., Güler, M., Özüm-Bülbül, B., & Özmen, Z. M. (2015). Reflections from a learning setting designed to investigate mathematical thinking. International Journal of Educational Studies in Mathematics, 2(1), 11-23.
• Davies, W. M. (2009). Groupwork as a form of assessment: Common problems and recommended solutions. Higher Education, 58, 563-584.
• Davis, B. G. (1999). Cooperative learning: Students working in small groups. Speaking of Teaching, 10(2), 1-4.
• Eisenhardt, S., Fisher, M., Schack, E., Tassell, J., & Thomas, J. (2011). Noticing numeracy Now (N^3): A collaborative research project to develop pre-service teachers’ abilities to professionally notice children’s mathematical thinking. In S. Reeder, (Ed.). Proceedings of the 38th Annual Meeting of the Research Council on Mathematics Learning 2011 (1-8). Cincinnati, OH.
  Empson, S. B. (2011). On the idea of learning trajectories: Promises and pitfalls. The Mathematics Enthusiast, 8(3), 571-596.
• Fosnot, C.T. (1996). Constructivism: A psychological theory of learning. In C.T. Fosnot (Ed.), Constructivism: Theory, Perspectives, and Practice. New York: Teachers College Press.
• Glasersfeld, E. (1989). Cognition, construction of knowledge, and teaching. Synthese, 80(1), 121-140.
• Harel, G. & Sowder, L. (2005). Advanced mathematical-thinking at any age: It’s nature and its development. Mathematical Thinking and Learning, 7 (1), 27-50.
• Lester, F. K., & Mau, S. T. (1993). Teaching mathematics cia problem solving: A course for prospective elementary teachers. For the Learning of Mathematics, 13(2), 8-11.
• Ligozat, F. & Schubauer-Leoni, F. (2010). The joint action theory in didactics: Why do we need it in the case of teaching and learning mathematics? In V. Durand Guerrier, S. Maury& F. Arzarello, CERME 6 Proceedings (pp. 1615-1624). Lyon: INRP.
• Kaplan, J., & Moskowitz, M. (2000). Mathematics Problem Solving. New York: Triumph Learning.
• Kimani, P. M., Olanoff, D., & Masingila, J. O. (2016). The locker problem: An open and shut case. Mathematics Teaching in the Middle School, 22(3), 144-151.
• Krutetskii, V. A. (1976). The psychology of mathematical abilities in school children (J. Teller, Trans., & J. Kilpatrick & I. Wirszup, Eds.). Chicago: University of Chicago Press.
• Michaelsen, L., Fink, D., & Knight, A. (1997). Designing effective group activities: Lessons for classroom teaching and faculty development. In D. DeZure (Ed.), To improve the academy. Stillwater, OK: POD Network.
• National Council of Teachers of Mathematics (2000). Let’s Count in Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM.
• Papadopoulos, I. (2017). Opening inquiry mathematics to parents: Can they be engaged as teachers’ partners in mathematical work?. Journal of Pedagogical Research, 1(1), 1-20.
• Patton, M. Q. (2002). Qualitative research and evaluation methods. Thousand Oaks, CA: Sage.
• Prawat, R. S. (1992) Teachers beliefs about teaching and learning: A constructivist perspective. American Journal of Education, 100, 354-395.
• Radford, L. (2008). Theories in mathematics education. A brief inquiry into their conceptual differences. Working Paper. Prepared for the ICMI Survey Team 7. The notion and role of theory in mathematics education research. Retrieved from http://www.luisradford.ca/pub/44_radfordicmist7.pdf
• Resnick, L. B. (1989). Introduction. In L. B. Resnick (Ed.), Knowing, learning, and instruction: Essays in honor of Robert Glaser (pp. 1-24). Hillsdale, NJ: Erlbaum.
• Rigelman, N. R. (2007). Fostering mathematical thinking and problem solving: The teacher’s role. Teaching Children Mathematics, 13(6), 308-314.
• Samaniego, A. H. F., & Barrera, S. V. (1999). Brousseau in action: Didactical situation for learning how to graph functions. Paper presented at the 4th Asian Technology Conference in Mathematics.
• Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition and sense making in mathematics. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching (pp. 334-370). New York: MacMillan Publishing.
• Seshaiyer, P., Suh, J. M., & Freeman, P. (2012). Unlocking the locker problem. Teaching children mathematics, 18(5), 322-326.
• Skemp, R. (1986). The psychology of learning mathematics. London: Penguin Books.
• Sriraman, B. (2004). Reflective abstraction, uniframes and the formulation of generalizations. Journal of Mathematical Behavior, 23, 205-222.
• Sriraman, B., & English, L. (2010). Surveying theories and philosophies of mathematics education. In Advances in Mathematics Education: Theories of Mathematics Education: Seeking New Frontiers (pp. 7-32). Berlin Heiderberg: Springer.
• Sriraman, B., & Törner, G. (2008). Political union/mathematical education disunion. In L. D. English (Ed.), Handbook of International Research in Mathematics Education (2nd ed., pp. 656-690). London: Routledge, Taylor & Francis.
• Terhart, E., 2003. Constructivism and teaching: A new paradigm in general didactics? Journal Curriculum Studies, 35(1), 25-44.
• Torrence, B., & Wagon, S. (2007). The locker problem. Crux Mathematicorum, 33(4), 232-236.
• Tynjala, P. (1999). Towards expert knowledge? A comparison between a constructivist and a traditional learning environment in university. International Journal of Educational Research, 31, 357-442.
• Winslow, C. (2005). Introduction: A Graduate Course on Four French Frameworks for Reseacrh on Didactics of Mathematics. In C. Winslow (Ed.) The Didactics of Mathematics: The French Way (pp. 7-20). Copenhagen: Center For Naturfagenes Didaktik.
• Yevdokimov, O., & Passmore, T. (2008). Problem solving activities in a constructivist framework: Exploring how students approach difficult problems. In M. Goos, R. Brown, & K. Makar (Eds.), Proceedings of the 31st Annual Conference of the Mathematics Education research Group of Australasia (pp.629-636). Sydney: MERGA.
• Yin, R. K. (2003). Applications of case study research. Newbury Park, CA: Sage.

Copyright © 2019 by the authors, licensee Teacher Education Faculty University of Belgrade, SERBIA. This is an open access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License (CC BY 4.0) (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original paper is accurately cited.