Carolina Cenobio Castillo, Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Puebla, México
Josip A. Slisko, Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Puebla, México, имејл: jslisko@fcfm.buap.mx
Lidia A. Hernández Rebollar, Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Puebla, México
Adrián Corona Cruz, Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Puebla, México

Иновације у настави, XXX, 2017/1, стр. 25–42

| PDF | | Extended summary PDF |

doi:10.5937/inovacije1701025S

Abstract: Climbing-snail problem is a popular problem in which people give erroneous solutions. We first give a short account of its interesting history. Distinguished mathematicians (Fibonacci, Calandri, Riess and some others) gave erroneous solutions, too! Then we provide an evidence of the problem’s amazing popularity at puzzle websites, in puzzle books, mathematics textbooks and manuals for entrance exams. Being so, it is strange that there are a few studies that explored students’ performances in solving climbing-snail problem. After these introductory considerations, we present a small-scale pilot study whose aim was to explore the influence of the correct answer positions on the students’ performances in a paper-and-pencil task based on that problem. Two multiple-choice versions of the problem, with the correct answer as the first and the last choice, were given to two different-age groups of Mexican students (N1 = 68, when the correct answer was the first choice and N2 = 81, when it was the last choice).The results suggest that students’ solving performances were influenced by the age and the position of the correct answer. When the correct answer was the first choice, older students greatly outperformed younger students, but with the correct answer as the last choice, older students were only slightly better. Finally we comment the most common procedures used by students and formulate some implications of these results for mathematics teaching.
Key words: Climbing-snail problem, Fibonacci’s error, mathematical problem solving, multiple-choice format, students’ drawings, students’ mathematical reasoning

Каролина Сенобио Кастиљо,
Јосип А. Слишко,
Лидија Ернандес Ребољар,
Адријан Корона Крус
Факултет за физику и математику (за математичке и физичке науке)
Аутономни универзитет, Пуебла, Мексико

НЕКОЛИКО ОСВРТА НА ЗАДАТАК О ПУЖУ КОЈИ СЕ ПЕЊЕ: ФИБОНАЧИЈЕВА ГРЕШКА, ПОПУЛАРНОСТ ПРОБЛЕМСКОГ ЗАДАТКА И РЕШЕЊА МЕКСИЧКИХ СТУДЕНAТА

Међу „загонетним“ проблемима „забавне математике“ веома је популаран онај који се односи на ситуацију у којој се пуж креће горе-доле по стубу одређене висине. Питање обично гласи: „Колико дана је потребно да пуж стигне до врха стуба?“. Људи често дају погрешан одговор на то питање јер користе „брзо мишљење“, које не узима у обзир важну чињеницу да пуж мора стићи до врха током дневног пењања, а не током ноћног спуштања (експлицитна или имплицитна концептуална грешка која се може звати „пуж који лети“). На почетку укратко представљамо (углавном непознату) историју овог проблема, која показује да су погрешно решење давали и неки познати средњовековни математичари као
што су били Фибоначи, Каландри и Рис. Након тога дајемо неколико конкретних примера који показују велику популарност проблема на веб-страницама са загонеткама, у књигама са математичким загонеткама, у уџбеницима математике и приручницима за припрему пријемних испита на универзитетима. Упркос тако великој популарности, конкретна ученичка и студентска решења проблема о пужу који се пење и спушта су недовољно присутна у истраживачкој литератури. Тако, недостају феноменолошка категоризација тих решења и теоријска разматрања о њиховим могућим узроцима. У главном делу рада описујемо почетну студију спроведену у Мексику, која представља први допринос, како феноменолошкој категоризацији различитих (и тачних и погрешних) ученичких решења, тако и разматрању могућих каузалних фактора њихове разноликости. Циљ студије је био квалитативно истражити како на ученичка решења утиче њихова старосна доб и положај тачног одговора у формату вишеструког избора. Ученицима различите старосне доби (дванаест и петнаест година) дате су две верзије проблема. У једној групи је тачан одговор био први понуђени избор (Н1 = 68), док је у другој групи тачан одговор био последњи понуђени избор (Н2 = 81).
Добијени резултати показују да на ученичка решења утичу како њихова старосна доб тако и положај тачног одговора међу понуђеним одговорима. Када је тачан одговор био на првом месту, старији ученици (петнаест година) значајно су надмашили млађе (дванаест година). Међутим, када је тачан одговор био на последњем месту, старији ученици су били тек незнатно бољи. Детаљно су представљени различити поступци и репрезентације које користе ученици да дођу до тачног или погрешног одговора. На крају наводимо неколико претпоставки, добијених на основу резултата, које су важне за наставу математике: (1) Наставници треба да избегавају, кад год је то могуће, да дају ученицима проблеме у формату вишеструког избора; (2) Наставници треба стално да траже од ученика да речима опишу оно шта раде приликом решавања проблема и разлоге због којих то раде; (3) Наставници треба стално да стимулишу ученике да пронађу што више разних репрезентација и поступака за добијања неког решења у свим математичким проблемима са којима се сусрећу (на пример, вербални, табеларни или шематски поступак); (4) Наставници треба експлицитно да покажу ученицима битне разлике између сликовите и шематске репрезентације проблемске ситуације и дају ученицима вишеструке прилике да се крећу од сликовитих ка шематским репрезентацијама, прво уз помоћ наставника, а касније без те помоћи; (5) Наставници треба да покажу ученицима важност узимања у обзир јединица физичких величина у решавању проблема који су повезани са физиком.
Кључне речи: задатак о пужу који се пење, Фибоначијева грешка, решавање математичких проблемских задатака, формат заокруживања једног од тачних одговора, цртежи студената, математичко расуђивање.

References

• Adesina, A., Stone, R., Batmaz, F., & Jones, I. (2014). Touch Arithmetic: A process-based Computer-Aided Assessment approach for capture of problem solving steps in the context of elementary mathematics. Computers & Education, 78, 333-343.
• Antonietti, A., Angelini, Ch., & Cerana, P. (2007). L’intuizione visiva. Utilizzare le immagini per analizzare e risolvere i problemi. Milano: FrancoAngeli/Trend, “La lumaca tenace”, p. 39
• Arnold, V. I. (2004). Problems for children from 5 to 15. http://jnsilva.ludicum.org/HMR13_14/Arnold_en.pdf(Accessed on January 15, 2017)
• Attali, Y., & Bar-Hillel, M. (2003). Guess Where: The Position of Correct Answers in Multiple-Choice Test Items as a Psychometric Variable. Journal of Educational Measurement, 40(2), 109-128.
• Averbach, B., & Chein, O. (2012). Problem solving through recreational mathematics. New York: Dover.
• Bertocchi, S. (2012). 3500 quiz ingegneria. I quesiti per le prove di ammissione. Milano: Alpha Test, Question 1397, p. 217
• Bianchini, M., & Borgonovo, P. (editors). (2012). La prova a test del concorso insegnanti. Manuale di preparazione. Con CD-ROM. Milano: Alpha Test, Question 10, p. 15
• Bradfield, D. L. (1970). Sparking interest in the mathematics classroom. The Arithmetic Teacher, 17(3), 239-242.
• Camagni, P. (2010). Algoritmi e basi della programmazione. Milano: Editore Ulrico Hoepli. “La lumaca sul muro”, p. 98.
• D’Amore, B. (1995). Uso spontaneo del disegno nella risoluzione di problemi di matematica.La matematica e la sua didattica. 3, 328-370.
• Danesi, M. (2002). The Puzzle Instinct: The meaning of puzzles in human life. Bloomington: Indiana University Press.
• Davies, C. (1850). The university arithmetic: embracing the science of numbers, and their numerous applications. New York: A. S. Barnes & Company
• Deschauer, S. (2013). Das zweite Rechenbuch von Adam Ries: eine moderne Textfassung mit Kommentar und metrologischem Anhang und einer Einführung in Leben und Werk des Rechenmeisters. Berlin: Springer-Verlag.
• Diezmann, C. M. (1997).The effect of instruction on students’ generation of diagrams.In Biddulph, F. & Carr, K. (editors) (1997).Proceedings 20th Annual Conference of Mathematics Education Research Group of Australasia: People in mathematics education. Rotorua: New Zealand, pp. 140 – 146.
• Dohmen, T., Falk, A., Huffman, D., & Sunde, U. (2010). Are risk aversion and impatience related to cognitive ability?. The American Economic Review, 100(3), 1238-1260.
• Dudaitė, J. (2013). Item Format Influence on the Results of the Item. Societal Studies, 5(3), 515 – 524.
• Earl, W. (1966). An iconoclastic elementary school mathematics program. The Arithmetic Teacher, 13(6), 489-491
• Escareño, F. y López O. L. (2008). Matemáticas 1. México D.F.: Editorial Trillas, p. 73.
• Frederick, S. (2005). Cognitive reflection and decision making. Journal of Economic Perspectives, 19(4), 25–42.
• Gardner, M. (1998). A Quarter-Century of Recreational Mathematics. Scientific American – American Edition, 279, 68-75.
• Hegarty, M., & Kozhevnikov, M. (1999).Types of visual–spatial representations and mathematical problem solving.Journal of educational psychology, 91(4), 684 – 689.
• Hohensinn, C., & Baghaei, P. (2017). Does the Position of Response Options in Multiple-Choice Tests Matter?. Psicológica, 38, 93-109.
• Jensen, R., & O’Neil, D. R. (1982). Classical problems for all ages. The Arithmetic Teacher, 29(5), 8-12.
• Kahneman, D. (2011). Thinking, fast and slow. New York: Farrar, Strauss and Giroux.
• Kelly, J. A. (1999). Improving problem solving through drawings. Teaching Children Mathematics, 6(1), 48-51.
• Kosanić, G. (n. d.). Од давнина до данашњих дана – стари математички задаци https://gocateacher.wordpress.com/page/10/ (Accessed on September 25, 2016).
• Massa Esteve, M. R. (2014). Historical activities in the mathematics classroom: Tartaglia’s Nova Scientia (1537). Teaching innovations, 27(3), 114-126. doi:10.5937/Inovacije1403114E
• Matka (n. d.) http://www.matka.gradnet.hr/zabavna_matematika.htm)(Accessed on January 15, 2017)
• Meyer, E. F., Falkner, N., Sooriamurthi, R. y Michalewicz, Z. (2014). Guide to Teaching Puzzle-based Learning. London: Springer.
• Michalewicz, Z. y Michalewicz, M. (2008) Puzzle-based learning: an introduction to critical thinking, mathematics, and problem solving. Melbourne: Hybrid Publishers.
• Olea Díaz, A., Basurto Hidalgo E. & Rivera Paredes, M. A. (2009). Contexto Matemático 1. Primera edición, Tlalnepantla de Baz, Estado de México: Norma ediciones, p. 66.
• Peano, G. (1925). Giochi di aritmética e problemi interessanti. Torino: Paravia.
• Posamentier, A. S. & Krulik, S. (2008). Problem-Solving Strategies for Efficient and Elegant Solutions. Grades 6-12. A Resource of the Mathematics Teacher. Second Edition. Thousand Oaks, CA: Corwin Press, Problem 7.19.
• Posamentier, A. S. y Krulik, S. (2009). Problem solving in mathematics. Grades 3 – 6: Powerful strategies to deepen understanding. Thousand Oaks, CA: Corwin, Problem 9.2.
• Poundstone, W. (2003). How Would You Move Mount Fuji? Microsoft’s Cult of the Puzzle. How the World’s Smartest Companies Select the Most Creative Thinkers. New York: Little, Brown and Company.
• Poundstone, W. (2012). Are you smart enough to work at Google? Fiendish Puzzles and Impossible Interview Questions from the World’s Top Companies. Oxford: Oneworld Publications
• Queryhome (n. d.). http://puzzle.queryhome.com/516/how-many-days-does-take-before-the-snail-reaches-the-top-the-pit(Accessed on January 15, 2017)
• Reuter, T., Schnotz, W., & Rasch, R. (2015). Drawings and tables as cognitive tools for solving non-routine word problems in primary school. American Journal of Educational Research, 3(11), 1187-1197.
• Schaaf, W. L. (1955). A Bibliography of Recreational Mathematics. Volumes I – IV. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
• Sigler L.E. (2002). Fibonacci’s Liber Abaci. Leonardo Pisano’s Book of Calculation. First soft edition. New York: Springer.
  Singmaster, D. (2004). Sources in recreational mathematics. An annotated bibliography. Eight preliminary edition (2004).10.H. SNAIL CLIMBING OUT OF WELL. http://puzzlemuseum.com/singma/singma6/ SOURCES/singma-sources-edn8-2004-03-19.htm#_Toc69534272 (Accessed on September 25, 2016)
• Sliško, J. (2016). Zabavni zadatak u vezi sa kretanjem puža – dvije epizode malo poznate ali poučne povijesti matematike (A funny problem related to the motion of a snail – two episodes of little known but instructive history of mathematics). Matematika u školi, 83, 132- 135.
• Sonnabend, T. (2010). Mathematics for Teachers: An Interactive Approach for Grades K-8. Fourth edition. Belmont, CA: BROOKS/COLE CENGAGE Learning, Problems 12 and 13, p. 60
• Threlfall, J., Pool, P., Homer, M., & Swinnerton, B. (2007). Implicit aspects of paper and pencil mathematics assessment that come to light through the use of the computer. Educational Studies in Mathematics, 66(3), 335-348.
• Toppuzzle (n. d.).http://en.toppuzzle.eu/puzzles-easy.html(Accessed on January 15, 2017)
• van de Walle, J., O’Daffer, P. G., & Charles, R. I. (1988). Problem solving: Tips for teachers. The Arithmetic Teacher, 35(5), 26-27.
• Wells, D (2012). Games and mathematics. Subtle connections. New York: Cambridge University Press.
• Zero-Brain (n. d.) http://zero-brain.com/pc/quiz/8/index.php(Accessed on January 15, 2017)

Copyright © 2017 by the authors, licensee Teacher Education Faculty University of Belgrade, SERBIA. This is an open access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License (CC BY 4.0) (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original paper is accurately cited.