Bronislaw Czarnocha, PhD, City University of New York, Hostos Community College, Mathematics Department, NY, US, e-mail: bczarnocha@hostos.cuny.edu

Teaching Innovations, 2014, Volume 27, Issue 3, pp. 31–45

doi:10.5937/inovacije1403031C

|PDF|

Abstract: Culture of creativity in mathematics education is grounded in definitions of creativity which underline our research and efforts of its classroom facilitation. However, the statement “there is no single, authoritative perspective or definition of creativity in mathematics education” (Mann, 2006; Sriraman, 2005; Leikin, 2011, Kattou et al., 2011) leaves practitioners without an idenifi able viewpoint in teaching. Therefore culture of creativity in mathematics education doesn’t have solid foundations conflating, among other things, a research into creativity with research into gift edness. Prabhu and Czarnocha (2014) have argued at PME 38 for the acceptance of bisociation of Koestler’s Act of Creation, that is a spontaneous leap of insight’ as the authoritative definition of creativity. The paper presents this bisociation theory of an “Aha!” moment and identifies this moment as one during which mind can focus and eliminate inhibiting habits of mind. The paper explores cultural values brought forth by the new defi nitions of creativity such as its democratization, the unity of creativity, motivation in learning, and the simultaneity of attention. The examples and methods of classroom facilitation are henceforth presented. The distinction between bisociative and associative thinking shows and introduces the concept of simultaneity of attention as new type of attention in learning (Mason, 2008).

Key words: creativity, bisociation, ‘Aha moment’, simultaneity of attention.

О култури креативности у математичком образовању
Култура креативности у математичком образовању заснована је на дефиницијама креативности које се наводе у нашем истраживању и настојањима да се она спроведе у учионици. Међутим, не постоји јединствена дефиниција креативности у математичком образовању (Mann, 2006; Sriraman, 2005; Leikin, 2011, Kattou et al., 2011) која наставнику практичару ствара тачку ослонца у поучавању. Стога, култура креативности у математичком образовању не стоји на чврстим основама. Она сажима, између осталог, истраживање о креативности и  истраживање о даровитости. Штавише, истраживања која је спровела група Леикиновe (Leikin, 2009) открила су да нагласак на флуентности у размери креативног размишљања заправо умањује оригиналност, самим тим и креативност, што се слаже са Кестлеровим схватањем да је „креативност пораз навике од стране оригиналности“ (Koestler, 1964: 96). Из тих разлога су Прабуова и Чарноча научно полемисали на 38. међународној конференцији за психологију математичког образовања око прихватања бисоцијације Кестлеровог „Акта креације“, који је спонтани скок у унутрашњост као ауторитативна дефиниција креативности (Prabhu and Czarnocha, 2014). Овај рад представља теорију бисоцијације „аха“ момента, која се усредсређује на могућност елиминације инхибирајућих навика ума. Она истражује културне вредности које је донела нова дефиниција креативности, као што је демократизација, јединство креативности и мотивације у учењу уз подједнаку пажњу. Представљени су примери и методе примене у учионици. Разлика између бисоцијативног и асоцијативног учења наглашава увод у подједнаку пажњу као нову структуру пажње (Mason, 2008). Бисоцијација доноси са собом нове културне вредности: демократизацију истраживања и примену креативности, као и когнитивно-афективно јединство. Демократизација креативности заснива се на две поставке – Хадамарда и Кестлера. Хадамард изјављује (Hadamard, 1945: 104): „Између рада ученика који покушава да реши геометријски или алгебарски проблем и рада на проналаску, може се рећи да постоји разлика у степену, разлика у нивоу, а да су оба рада сличне природе“. Са друге стране, Кестлер (Koestler, 1964: 658) наводи: „Минорни субјективни бисоцијативни процеси […] покретачи су учења које није вођено“. Пошто су минорне субјективне бисоцијације стандардни покретачи самоучења кроз које свако пролази и пошто је њихова природа слична оној коју има зрео математички изумитељ, можемо да гледамо на бисоцијацију као на процес који потпомаже креативност у математици за све. Бисоцијација је веома моћна идеја. Има моћ да заједно са конструкцијом схеме за нови појам „кроз непосредну перцепцију односа“ трансформише навику у оригиналност, што је повезано са Кестлеровим вапајем за борбу (Koestler, 1964: 96): „Чин креације је чин ослобођења − она је пораз навике од стране оригиналности!“. Стога, бисоцијација игра двоструку улогу, ону која припада когнитивном реорганизатору и ону која припада ефикасном ослободиоцу од навике – то је усађивање дуплих корена за креативност. У истраживању Лилједала потврђена је улога коју може да наслути афективно ослобађање (Liljedahl, 2009: 213): „’Аха’ искуство има помоћни и прилично трансформишући ефекат на веровања и схватања ученика према математици…“ Јединство когнитивне реорганизације и афективног ослобађања је карактеристичан квалитет за чин креације – једна од нових централних културних вредности коју доноси нова дефиниција креативности у математици. Представљање бисоцијације као централног појма за разумевање креативности допушта нам да квалификујемо одређене погледе у професионалном математичком образовању. Нарочито могу да се квалификују изјаве Срираманa (Sriraman et al., 2011: 121): „[…] Када особа одлучује или размишља о промени мреже појмова да би се она побољшала, па и из педагошких разлога, иако се нове математичке идеје нису формирале, особа је укључена у креативну математичку активност.“ Да ли процес, горе описан, јесте или није креативна математичка активност, може да се одреди на основу Кестлерове дистинкције између процеса разумевања – стицање нових сазнања − и вежбање разумевања – објашњење посебних случаја (Koestler, 1964). Напредовање у разумевању се постиже формулацијом нових кодова кроз модификацију и интеграцију постојећих кодова методима у емпиријскoj индукцији, апстракцији и способности разликовања, бисоцијацији. Вежба примене разумевања објашњења посебних догађаја постаје чин подсумирања посебних догађаја, а реализује се (у) кодовима које је формирало претходно искуство. Ако, на пример, одлучим да осмислим развојни програм аритметике/алгебре заснован на мом знању односа између аритметике и алгебре (генерализација и специјализација), ја сам укључен у вежбу разумевања математике, што се посебно разликује од креативног прогреса разумевања. Развојни програм укључује како редизајнирање курикулума, тако и редизајнирање „мреже појмова“. Прогрес разумевања који се стиче кроз бисоцијацију захтева нову структуру пажње која није постојала у претходном пољу математичког образовања, а то је симултана пажња према два оквира размишљања.
Идентификација симултаности пажње као потпора бисоцијацији ближе нас доводи до симултаних дискусија о физици заједно са њеним гранама и у теорији релативитета и у основама квантне механике.

Кључне речи: креативност, бисоцијација, “аха“ моменат, симултаност пажње.

References:

• Arnon, I., Cottrill, J., Dubinsky, E., Oktac, A., Fuentes, S.R., Trigueros, M. and Weller, K. (2014). APOS
  Theory. A Framework for Research and Curriculum Development in Mathematics Education. Springer.
• Baker, W. (2014a). Refl ection upon Solution Activity in a Teaching-Research Classroom: Bisociation and
  Refl ective Abstraction. In: Czarnocha, B., Baker, W., Dias, O., Prabhu, V. and Flek, R. (ed.) The Creative
  Enterprise of Mathematics Teaching-Research (229-262). Rotterdam/Taipei: Sense Publishers. (2014, to be
  published)
• Baker, W. (2014b). Koestler’s Theory as a Foundation for a Classroom Problem-Solving Environment. In:
  Czarnocha, B., Baker, W., Dias, O., Prabhu, V. and Flek, R. (ed.) The Creative Enterprise of Mathematics
  Teaching-Research (37-54). Rotterdam/Taipei: Sense Publishers. (2014, to be published)
• Berthold, M.R. (2012). Bisociative Knowledge Discovery. Springer.
• Czarnocha, B. (2014a). The Flow of Thought across the Zone of Proximal Development between Elementary
  Algebra and Intermediate English as a Second Language. In: Czarnocha, B., Baker, W., Dias, O., Prabhu, V.
  and Flek, R. (ed.) The Creative Enterprise of Mathematics Teaching-Research (313-330). Rotterdam/Taipei:
  Sense Publishers. (2014, to be published)
• Czarnocha, B. (2014b). Bisociation of Arthur Koestler in the “Act of Creation” (1964) as the theory of the
  Aha! moment-the Basis for Mathematical Creativity in the Classroom and Beyond Presentation, University
  Federico Segundo, Napoli, Italy, May 9, 2014. (ppt presentation).
• Czarnocha, B (2014c). Teaching-Research/New York City Model (TR/NYCity). In: Czarnocha, B., Baker, W.,
  Dias, O., Prabhu, V. and Flek, R. (ed.) The Creative Enterprise of Mathematics Teaching-Research (3-16). Rotterdam/
  Taipei: Sense Publishers. (2014, to be published)
• Ehrenfels, von C. (1890). Über Gestaltqualitäten [On the Qualities of Form]. Vierteljahrsschrift für wissenschaft
  liche Philosophie, 14, 249-292.
• Hadamard, J. (1945). The Psychology of Invention in the Mathematical Field. Princeton University Press.
• Kadej, C. (1999). An elephant – or what use can be made of metonymy? Matematyka #2, Poland.
• Kattou, M., Kontoyianni, K., Pitta-Pantazi, D. and Christou, C. (2011). Does Mathematical Creativity Differentiate
  Mathematical Ability? Proceedings of the Seventh Congress of the European Society for Research in
  Mathematics Education 7 (CERME 7) (1056-1065). Rzeszow, Poland.
• Koestler, A. (1964). The Act of Creation. London: Hutchinson & Co, LTD.
• Koffk a, K. (1935). Principles of Gestalt Psychology. New York: Hartcourt Brace.
• Leikin, R., Berman, A., Koichu, B. (ed.) (2009). Creativity in Mathematics Education of Gift ed Students. Sense
  Publishers.
• Leikin, R. (2009). Exploring mathematical creativity Using Multliple Solution Tasks. In: Leikin, R., Berman,
  A. and Koichu, B. (ed.) Creativity in Mathematics Education of Gift ed Students (129-145). Sense Publishers.
• Liljedahl, P. (2009). In the Words of the Creators. In: Leikin, R., Berman, A. and Koichu, B. (ed.) Creativity in
  Mathematics Education of Gift ed Students (51-70). Sense Publishers.
• Mann, E. (2005). Mathematical Creativity and School Mathematics: Indicators of Mathematical Creativity in
  Middle School Students (Doctoral dissertation).
• Mahavier, W.S. (1999). What Is Th e Moore Method? Primus, 9, 339-254.
• Mason, J. (2008). Being Mathematical With and in front of Learners: Attention, Awareness, and Attitude as
  sources of diff erences between Teacher Educators, Teachers & Learners. In: Jaworski, B. and Woods, T. (ed.)
  Th e Mathematics Teacher Educator as a Developing Professional (31-86), Rotterdam/Taipei: Sense Publishers.
• Palatnik, A. and Koichu, B. (2014). Reconstruction of One Mathematical Invention in Liljedahl,P., Oesterly,
  S., Nicol, C. & Allan, D. Proceedings of the Joint Meeting of PME 38 and PME-NA 36 (Vol. 4, 377-384).
• Prabhu, V. (2014). The Creative Learning Environment. In: Czarnocha, B., Baker, W., Dias, O., Prabhu, V.
  and Flek, R. (ed.) The Creative Enterprise of Mathematics Teaching-Research (17-36). Rotterdam/Taipei: Sense
  Publishers. (2014, to be published)
• Prabhu, V., Barbatis, P. and Pfl anzer, H. (2014). The Poznan Th eatre Problem: the Role of Problem-Posing
  and Problem-Solving in Stimulating Self-Guided Discovery in Developmental Mathematics Classes. In:
  Czarnocha, B., Baker, W., Dias, O., Prabhu, V., Flek, R. (ed.) The Creative Enterprise of Mathematics Teaching-
  Research (303-312). Rotterdam/Taipei: Sense Publishers. (2014, to be published)
• Prabhu, V. and Czarnocha, B. (2014). Democratizing Mathematical Creativity through Koestler Bisociation
  Theory. In: Liljedahl,P., Oesterly, S., Nicol, C. & Allan, D. (ed.) Proceedings of the Joint Meeting of PME 38 and
  PME-NA 36 (Vol. 5, 1-8).
• Semadeni, Z. (1987). Verbal Problems in Arithmetic Teaching. In: Proceedings of the International Congress
  of Mathematicians Berkeley, California, USA, 1986 (1697- 1706). International Congress of Mathematicians
  1986.
• Silver, E. A. (1997). Fostering creativity though instruction rich mathematical problem solving and problem
  posing. International Reviews on Mathematical Education, 29 (3),75-80.
• Sriraman, B (2005). Are Gift edness and Creativity Synonyms in Mathematics? The Journal of Secondary
  Gift ed Education. 17 (1), 20-36.
• Sriraman, B., Yaft ian, N. and Lee, K.H. (2011). Mathematical Creativity and Mathematics Education: A Derivative
  of Existing Research. In: Sriraman, B. and Lee, K.H. (ed.) Th e Elements of Creativity and Gift edness in
  Mathematics (119-130). Sense Publishers.
• Schilpp, P. A. (1949). Albert Einstein. Philosopher Scientist. The Library of Living Philosophers. Open Court.
• Th orpe, W.H. (1956). Learning and Instinct in Animals. London: Methuen.
• Torrance, E. P. (1974). Torrance tests of creative thinking. Bensenville, IL: Scholastic Testing Service.
• Iannece D., Mellone M., Tortora R. (2006). New insights into learning processes from some neuroscience
  issues. In: Proceedings of the 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics
  Education (Vol. 3, 321-328). Prague: Charles University.
• Wallas, G. (1926). The Art of Thought. New York: Harcourt Brace.