Ivan Anić, PhD, College of Information Technology, Belgrade, Serbia, e-mail: ianic@matf.bg.ac.rs
Dragica Pavlović Babić, PhD, Faculty of Philosophy, University of Belgrade, Serbia, e-mail: dpavlovi@f.bg.ac.rs

Teaching Innovations, 2015, Volume 28, Issue 3, pp. 36–49

doi:10.5937/inovacije1503036A

|PDF|

Abstract: The basic research question dealt with in this study is how to identify the main obstacles that students encounter in solving tasks in mathematics in order to define typical steps in mastering the mathematical skills needed for solving the applied tasks. In conceptual terms, this study is situated into the contemporary definition of mathematical literacy as a competence that allows the individual to understand the world in which he/she lives, and makes him/her qualified to make informed decisions (e.g. OECD / PISA). This research had two phases. Study was divided into two phases, both of them included sample of first-grade high school students, which is consistent with the PISA criteria for determining sample. During students’ individual or interactive work on tasks, their comments were collected as qualitative data in order to determine the ways in which students make mistakes, what are the difficulties encountered if the tasks are placed in a realistic context, and to determine which of these errors and problems are typical. Content analysis of students’ verbal communication during task solving served to extract the problems that make solving strategies ineffective. In the second (quantitative) phase of our research, we tested if they could be used as a clear diagnosis that indicates a systemic deficiency in the teaching of mathematics and instruments for assessing student achievement. The sample consisted of 379 first grade students of Belgrade high schools. The results show that the concept of probability is intuitively close to the students’ experience. Narrative rather than a graphical display of data is more efficient support in problem solving. Suggesting step-by-step-approach to problem solving significantly increases performance. Recommendation for teaching practice is to introduce the concept of probability at earlier school ages and to integrate it with other themes in mathematics. Problem-solving strategies should be developed through active teaching of mathematics, in particular the skills of subdivision of a problem into stages.

Key words: mathematical literacy, problem solving, probability, strategies for solving tasks, OECD/PISA).

Како се може поспешити успешност ученика у решавању математичких проблема?
Основно истраживачко питање којим се бавимо у овом раду је питање идентификовања погрешних стратегија и основних препрека у решавању проблемских задатака из математике, како би се дефинисале успешне подршке у процесу решавања, а које доводе до успеха. Истраживање је реализовано у две фазе. Квалитативним истраживањем, у условима индивидуалног рада или рада у пару на задатку, настојали смо да утврдимо на које начине ученици греше и на које потешкоће наилазе при решавању задатака смештених у реалан контекст, као и да се утврди које од тих грешака и потешкоћа су типичне. Анализом садржаја вербалних исказа ученика током решавања задатака издвојени су проблеми који чине стратегије решавања неефикасним. Квантитативним истраживањем проверавали смо у којој мери су грешке и потешкоће установљене у претходној фази типичне, што може бити јасан дијагностички знак који указује на системски недостатак у настави математике и инструментима за процену постигнућа ученика. Узорак ученика обухвата петнаестогодишњаке, односно ученике првог разреда из четири средње школе у Београду. У квалитативном делу истраживања учествовало је петнаест ученика, а у квантитативном триста седамдесет и  девет ученика. Узорак школа је пригодан, а у свакој школи су тестирана цела одељења која су насумично изабрана. Узорак задатака чини шест проблемских математичких задатака, од којих су четири преузета из међународног програма провере ученичких постигнућа (ОЕЦД/ПИСА), а два су саставили аутори овог рада. Задаци су смештени у реалан контекст и у складу су са узрастом и искуствима испитаника. Задаци тестирају различите математичке компетенције и градуирани су по комплексности. Анализом садржаја вербалних исказа ученика током решавања задатака издвојили су се следећи проблеми који чине стратегије решавања неефикасним: (1) Избор релевантних података – показало се да су ученици имали погрешна очекивања да сви дати подаци морају да се употребе да би се дошло до решења; (2) Читање сликом датих података – слика је ометала процес решавања задатака на следеће начине: погрешно интерпретирање слике, погрешно интерпретирање због нејасноће у графичком приказу података, проверавање и упоређивање података који су дати сликом и текстом, што доводи до успоравања процеса решавања задатка; (3) Повезивање различитих фаза у решавању задатка – показало се да ученици покушавају да директно дођу до решења без претходне анализе расположивих података; (4) Представљање, схемом или на менталном плану, података о просторном распореду објеката.
На основу уочених проблема, интервенисали смо у задацима тако да се избегну типичне грешке или помогне ученицима у преласку на наредне фазе решавања проблема. За сваки задатак формулисане су две олакшане верзије: Б верзија, у којој је дат директнији приказ података, и Ц верзија, у којој се ученици наводе на први корак у решавању задатка. За потребе овог рада приказане су анализе које се односе на проблемски задатак из области вероватноће у којем су подаци дати графиком. У квалитативном делу истраживања се показало да већина ученика зна за појам вероватноће, иако се са тим појмом нису сусрели у школи, и преводе га појмовима „шанса“ или „могућност“. Тај појам је толико природан ученицима да неки нису ни знали да у школи нису учили ништа о вероват ноћи.
Резултати квантитативног дела истраживања показују да је већи проблем ученицима да поделе проблем у фазе него сам концепт вероватноће. Јасно је да овај концепт треба на један наиван начин много раније изучавати у школи, а највише због великог значаја који вероватноћа и статистика играју у савременом друштву. Статистичко-вероватносни концепти се данас убрајају у општеобразовне, и скоро да нема послова где се за пријем не раде тестови који садрже проблеме из ове области. Проблем мањка вероватноће и статистике у настави математике у Србији је системски и биће боље за наставу математике ако се ови концепти ускоро нађу у нижим разредима основне школе. Проблеми из вероват ноће и статистике су по својој природи реалистични и могу у великој мери инспирисати ученике. Осим тога, познавање основних статистичких концепата проширује ученицима могућности за истраживачки рад, не само из предмета математика већ и у другим областима. Налази истраживања могли би да имају импликације и на системска решења која се примењују у образовању, али и на свакодневну наставну праксу. Иновирање програма иницијалног образовања наставника математике, као и програма курикулума за основне и средње школе, требало би да иде у правцу подржавања наставничких компетенција за проблемску и пројектно организовану наставу којом би се подржали виши облици мишљења код ученика. У очекивању промена на системском нивоу могуће је унапредити и свакодневни рад у учионици тако што би се кроз проблемске задатке и кооперативни рад ученика на њима постигао виши степен ангажовања ученика у настави, подигао квалитет наставе и унапредила образовна постигнућа ученика у области математике.

Кључне речи: математичка писменост, решавање проблема, вероватноћа, стратегије решавања задатака, програм ПИСА.

References

• Anić, I. & Pavlović Babić, D. (2011). Rešavanje matematičkih problema u realnom kontekstu: kvalitativna i kvantitativna analiza postignuća. Nastava i vaspitanje, 2, 193-205.
• Baucal, A. & Pavlović Babić, D. (2009). Kvalitet i pravednost obrazovanja u Srbiji: Obrazovne šanse siromašnih. Belgrade: Ministarstvo prosvete Republike Srbije, Vlada Republike Srbije, Institut za psihologiju.
• Baucal, A. & Pavlović Babić, D. (2011). Nauči me da učim, nauči me da mislim, PISA 2009 u Srbiji: prvi rezultati, Belgrade: Institut za psihologiju i Centar za primenjenu psihologiju.
• Baucal, A. i sar. (2006). Obrazovna postignuća učenika III razreda – nacionalno testiranje 2004, Beograd: Zavod za vrednovanje kvaliteta obrazovanja i vaspitanja. http://www.ceo.edu.rs/images/stories/publikacije/ObrazovnaPostignucaUcenika.pdf
• Eartl, H. (2006):. European Union policies in education and training: the Lisbon agenda as a turning point? Comparative Education, 42 (1,) 5-27.
• European Commission (2010): Europe 2020: A European strategy for smart, sustainable and inclusive growth,. Brussels: European Commission.
• Fan, L., & Zhu, Y. (2007). Representation of problem-solving procedures: A comparative look at China, Singapore, and US mathematics textbooks. Educational Studies in Mathematics, 66(1), 61-75.
• de Lange, J. (2003). Mathematics for Literacy. In B. L. Madison, & L. A. Steen (Eds). Quantitative Literacy: Why Literacy Matters for Schools and Colleges, Princeton, New Jersey: National Council on Education and the Disciplines. 75-89. Kovač Cerović, T. & Radišić, J. (2015):.Sprega motivacije i postignuća učenika: doprinos PISA 2009. In J. Radišić, & N. Buđevac, (Eds.), Sekundarne analize istraživačkih nalaza u svetlu novih politika u obrazovanju Belgrade: Ministarstvo prosvete, nauke i tehnološkog razvoja Republike Srbije i Društvo istraživača u obrazovanju. 144-158
• Ministry of Education, Singapore (2013). Primary Mathematics Teaching and Learning Syllabus, http://www.moe.gov.sg/education/syllabuses/sciences/files/maths-primary-2013.pdf)
• OECD (1999). Measuring Student Knowledge and Skills: A New Framework for Assessment. Paris: OECD Publications.
• OECD (2004). Learning for Tomorrow’s World: First Results from PISA 2003. Paris: OECD Publications.
• OECD (2007). PISA 2006: Science competencies for tomorrow’s world. Paris: OECD Publications.
• OECD (2009a). Education at a Glance. Paris: OECD Publications.
• OECD (2009b). Education Today: The OECD Perspective. Paris: OECD Publications.
• OECD (2009c). PISA 2009 Results: What Students Know and Can Do. Volume I, Paris: OECD Publications.
• OECD (2013). PISA 2012 Results: What Students Know and Can Do – Student Performance in Mathematics, Reading and Science (Vol. 1), Paris: OECD Publications.
• Pavlović Babić, D. (2015). Faktori koji doprinose postignućima na PISA zadacima čitalačke pismenosti. In J.
• Radišić & N. Budjevac (Eds.), Sekundarne analize istraživačkih nalaza u svetlu novih politika u obrazovanju. Belgrade: Ministarstvo prosvete, nauke i tehnološkog razvoja Republike Srbije i Društvo istraživača u obrazovanju. str. 118-121.
• Pavlović Babić, D. & Baucal, A. (2009). Matematička pismenost. Belgrade: Ministarstvo prosvete Republike Srbije, Zavod za vrednovanje kvaliteta obrazovanja i vaspitanja, Institut za psihologiju Filozofskog fakulteta Univerziteta u Beogradu.
• Pavlović Babić, D., & Baucal, A. (2013). Podrži me, inspiriši me: Prvi rezultati PISA 2012 u Srbiji, Beograd: institut.leI za psihologiju i Centar za primenjenu psihologiju.
• Polish Eurydice Unit (2005). The System of Education in Poland. Warsaw: Foundation for Development of the Education System.
• Rychen, D. S. &. Salganik, L. H. (Eds.) (2003). Key Competencies for A Successful Life and a Well-Functioning Society. Cambridge: Hogrefe & Huber Publishers.
• Snape, D. & Spencer, L. (2003). The foundations of qualitative research. In: Richie, J. & Lewis, J. (Eds.). Qualitative research practice. A guide for social science students and researchers, London: SAGE Publications. 2-23.
• Videnović, M. & Radišić, J. (2011). Anksioznost u vezi sa učenjem matematike: Matematika – bauk ili ne? Psihološka istraživanja, 14, 157-177.